Математическая олимпиада в Великобритании — Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

2012-12-11 в 08:29

1993 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. Найти все шестизначные десятичные числа, которые
а) являются точными квадратами
б) первые три цифры которых образуют число на единицу меньшее числа образованного последними тремя цифрами (например, для числа 123124 получаем числа 123 и 124, соответственно).
Обсуждение

2. Квадратный кусок торта ABCD со стороной 1 и центром O разделили на две равные части ABC и CDA разрезав его по прямой AC. Если кусок ABC должен быть, в свою очередь, разрезан на две части равной площади, то, как правило, его разрезают вдоль линии симметрии BO. Тем не менее, есть и другие способы сделать это. Найдите, с обоснованием, длину и расположение самого короткого прямого разреза, который делит кусок ABC на две части равной площади.
Обсуждение

3. Последовательность задана следующим образом: `u_1 = 1`, `u_2 = c`, `u_n = (2n +1) u_{n-1} - (n^2 -1)u_{n-2}` для `n >= 3`. Для каких натуральных значений `c` при всех `i <= j` `u_i` делит `u_j`?
Обсуждение

4. Две окружности касаются внутренним образом в точке M. Прямая касается внутренней окружности в точке P и пересекает внешнюю окружность в точках Q и R. Докажите равенство углов QMP и RMP.

Обсуждение

5. Положительные действительные числа x, y, z удовлетворяют неравенству `1/3 <= xy + yz + zx <= 3`.
Определите множество значений выражений:
1) xyz
2) x+y+z.
Обсуждение

URL

2012-12-11 в 08:32

Гость

1993 British Mathematical Olympiad

Round 2

1. Традиционно единицами измерения углов являются 1 градус и 1 радиан, но можно выбирать и какую-нибудь другую единицу измерения. Например, если мы будем использовать `30^@` в качестве новой единицы измерения, то величины углов в `30^@`, `60^@` и `90^@` будут равны 1, 2 и 3 новым единицам измерения, соответственно.

На рисунке изображен треугольник `ABC` с вписанным в него треугольником `DEF`. Все обозначенные на рисунке углы различны и их величины выражаются целыми числами `a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l` в некоторой, неизвестной заранее, единице измерения углов. Найдите такую единицу измерения, в которой `a+b+c` принимает наименьшее возможное значение, и приведите величины всех углов в этой новой единице измерения.
Обсуждение

2. Пусть `m = (4^p - 1)/3`, где `p` простое число большее, чем 3. Докажите, что `2^(m-1)` при делении на `m` имеет остаток равный `1`.
Обсуждение

3. Пусть `P` - внутренняя точка треугольника `Delta ABC`, а углы `alpha, beta, gamma` определены равенствами `alpha = /_BPC - /_BAC`, `beta = /_CPA - /_CBA`, `gamma = /_APB - /_ACB`.
Докажите, что `PA (sin /_BAC)/(sin alpha) = PB (sin /_CBA)/(sin beta) = PC (sin /_ACB)/(sin gamma)`
Обсуждение

4. Множество `ZZ(m, n)` состоит из всех целых чисел `N`, которые состоят из `m*n` цифр, среди которых `n` единиц, `n` двоек, `n` троек, ..., `n` `m`-ок. Для каждого `N in ZZ(m, n)`, определим `d(N)` как сумму из модулей разности соседних разрядов, например, `122313 in ZZ(3, 2) \ \ => \ \ d(122313) = 1 + 0 + 1 + 2 + 2 = 6`. Найти среднее арифметическое`d(N)` всевозможных чисел `N in ZZ(m, n)`.
Обсуждение

URL

2012-12-11 в 08:36

Гость

1994 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. Для трехзначного числа n (например, n = 625) вычислим новое число f(n), которое равно сумме трех цифр числа n, трёх попарных произведения этих цифр, и произведения всех трёх цифр.
1) Найти значение n/f(n) при n = 625.
2) Найти все трехзначные числа, для которых верно равенство n/f(n) = 1.
Обсуждение

2. В треугольнике `Delta ABC` точка `X` лежит на стороне `BC`.
1) Пусть `/_BAC = 90^@`, точка `X` середина `BC`, а угол `/_BAX` равен трети `/_BAC`. Что можно сказать про треугольник `ACX`? (Ответ обосновать)
2) Пусть `/_BAC = 60^@`, отрезок `BX` равен трети отрезка `BC`, а `AX` является биссектрисой угла `/_BAC`. Что можно сказать про треугольник `ACX`? (Ответ обосновать)
Обсуждение

3. Последовательность целых чисел `u_0, u_1, u_2, u_3, ldots` удовлетворяет условиям `u_0 = 1`, `n_{n-1}*u_{n+1} = k*n_n` для всех `n >= 1`, где `k` - некоторое целое положительное число. Найти все возможные значения `k`, при которых `u_{2000} = 2000`.
Обсуждение

4. Точки Q, R лежат на окружности `gamma`. Точка `P` такая, что отрезки `PQ` и `PR` лежат на касательных к `gamma`. Точка `A` лежит на продолжении отрезка `PQ`. Около треугольника `PAR` описана окружность `gamma_1`. Точка `B` - вторая точка пересечения окружностей `gamma` и `gamma_1`. Отрезок `AR` пересекает окружность `gamma` в точке `C`. Докажите, что `/_PAR = /_ ABC`.
Обсуждение

5. Возрастающую последовательность целых чисел назовем спартаковской если она начинается с нечетного числа, второй член последовательности - четное число, третий - нечетное, четвертое - четное и т.д. Пустую последовательность (не содержащую ни одного числа) будем рассматривать как спартаковскую. Пусть A(n) - количество спартаковских последовательностей состоящих из целых чисел принадлежащих множеству {1, 2, ... , n}. Покажите, что A(1) = 2, A(2) = 3. Найдите значение A(20).
Обсуждение

URL

2012-12-11 в 08:37

Гость

1994 British Mathematical Olympiad

Round 2

1. Найдите наименьшее целое n > 1 такое, что среднее арифметическое чисел

`1^2`, `2^2`, `3^2`, . . . , `n^2`

является полным квадратом.
Обсуждение

2. Найдите количество различных (попарно неравных) треугольников с целыми длинами сторон, периметр которых равен 1994.
Обсуждение

3. AP, AQ, AR, AS - хорды данной окружности, такие, что `/_PAQ = /_QAR = /_RAS`. Докажите, что AR(AP + AR) = AQ(AQ + AS).
Обсуждение

4. Сколько полных квадратов среди чисел от 0 до `2^n-1` включительно?
Обсуждение

URL

2013-01-09 в 08:18

Гость

1995 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого оканчивается на три четверки. Найдите все натуральные числа, квадраты которых оканчиваются на три четверки. Докажите, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на четыре четверки.
Обсуждение

2. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2.
1) Пусть M - середина BC, N - середина A1D1, найдите площадь четырехугольника AMC1N.
2) Пусть P - середина AB, Q - середина C1D1. Пусть AM пересекает CP в точке X, C1N пересекает A1Q в точке Y . Найдите длину XY .
Обсуждение

1) Найдите наибольшее значение выражения `x^2*y - y^2*x` если `0 <= x <= 1` и `0 <= y <= 1`.
2) Найдите наибольшее значение выражения `x^2*y + y^2*z + z^2*x - x^2*z - y^2*x - z^2*y` если `0 <= x <= 1`, `0 <= y <= 1`, `0 <= z <= 1`.
Обсуждение

4. Дан треугольник ABC с прямым углом C. Биссектрисы углов BAC и ABC пересекают BC и CA в точках P и Q, соответственно. M и N - основания перпендикуляров опущенных из P и Q на AB. Найдите угол MCN.
Обсуждение

5. Семь гномов ходят на работу каждое утро выстроившись в цепочку друг за другом. Они идут и поют свою знаменитую песню, "высокий - низкий - высокий-низкий, это мы на работу идем...". Каждый день они выстраиваются так, чтобы никакие три идущих друг за другом гнома не были упорядочены по росту. Таким образом, цепочка гномов выглядит так: высокий - низкий - высокий - низкий· · · или низкий - высокий - низкий - высокий· · ·. Если все они имеют разный рост, то сколько дней они могут идти на работу выстроившись подобным образом, если они настаивают на использовании иного порядка каждый день?
Чему будет равно количество дней, если с ними на работу будет ходить и Белоснежка?
Обсуждение

URL

2013-01-09 в 08:27

Гость

1995 British Mathematical Olympiad

Round 2

1. Найдите все тройки натуральных чисел (a, b, c), для которых выполняется условие `(1 + 1/a)(1 + 1/b)(1 + 1/c) = 2`.
Обсуждение

2. Дан треугольник ABC. D, E, F - середины сторон BC, CA, AB, соответственно. Докажите, что /_DAC = /_ABE тогда и только тогда, когда /_AFC = /_ADB.
Обсуждение

3. a, b, c - действительные числа, удовлетворяющие условиям a < b < c, a + b + c = 6 и ab + bc + ca = 9. Докажите, что 0 < a < 1 < b < 3 < c < 4.
Обсуждение

4. 1) Определите, предоставив подробное объяснение, сколькими способами можно 2n людей разбить на n команд по два человека.
2) Докажите, что `{(mn)!}^2` делится на `(m!)^{n+1}(n!)^{m+1}` для всех натуральных m, n.
Обсуждение

URL

2013-01-09 в 08:31

Гость

1996 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. Consider the pair of four-digit positive integers (M,N) = (3600, 2500). Notice that M and N are both perfect squares, with equal digits in two places, and differing digits in the remaining two places. Moreover, when the digits differ, the digit in M is exactly one greater than the corresponding digit in N. Find all pairs of four-digit positive integers (M,N) with these properties.
1. Рассмотрим пару четырехзначных натуральных чисел (M,N) = (3600, 2500). Заметим, что M и N являются полными квадратами, десятичная запись которых образована двумя одинаковыми цифрами и двумя различными цифрами, стоящими на двух других местах. Более того, если цифры отличаются, то цифра в числе M ровно на единицу больше соответствующей цифры числа N. Найдите все пары четырехзначных натуральных чисел (M,N), которые обладают указанными выше свойствами.

2. Функция `f`, определенная для натуральных чисел, удовлетворяет условиям `f(1) = 1996` и `f(1) + f(2) + · · · + f(n) = n^2f(n)` для всех n > 1. Вычислите f(1996).
Обсуждение

3. Пусть ABC - остроугольный треугольник и пусть O - центр описанной окружности. Окружность, проходящую через точки A, O и B, обозначим S. Прямые CA и CB пересекают окружность S еще и в точках P и Q, соответственно. Докажите, что прямые CO и PQ перпендикулярны. (Центром описанной окружности треугольника XYZ называют центр окружности, которая проходит через вершины X, Y и Z.)
Обсуждение

4. Для произвольного действительного числа x [x] обозначает наибольшее целое число, которое меньше или равно x. Define `q(n) = [n/([sqrt(n)])]` для n = 1, 2, 3, . . . . Найдите все натуральные числа n для которых q(n) > q(n + 1).
Обсуждение

5. Пусть a, b и c - положительные действительные числа.
1) Докажите, что `4(a^3 + b^3) >= (a + b)^3`.
2) Докажите, что `9(a^3 + b^3 + c^3) >= (a + b + c)^3`.
Обсуждение

URL

2013-01-09 в 08:34

Гость

1996 British Mathematical Olympiad

Round 2

1. Решите в неотрицательных целых числах уравнение `2^x + 3^y = z^2`.
Обсуждение

2. Стороны a, b, c и u, v,w двух треугольников ABC и UVW связаны соотношениями
`u(v + w - u) = a^2`,
`v(w + u - v) = b^2`,
`w(u + v - w) = c^2`.
Докажите, что треугольник ABC является остроугольным и выразите величины углов U, V, W через величины углов A, B, C.
Обсуждение

3. Две окружности S1 и S2 касаются друг друга внешним образом в точке K, они также касаются внутренним образом окружности S в точках A1 и A2, соответственно. Пусть P - одна из точек пересечения окружности S с касательной к окружностям S1 и S2, проходящей через точку K. Прямая PA1 пересекает окружность S1 еще и в точке B1, а прямая PA2 пересекает окружность S2 еще и в точке B2. Докажите, что прямая B1B2 является касательной к окружностям S1 и S2.
Обсуждение

4. Пусть a, b, c и d - положительные действительные числа такие, что `a + b + c + d = 12` и `abcd = 27 + ab + ac + ad + bc + bd + cd`. Найдите все возможные значения a, b, c, d, удовлетворяющие этим уравнениям.
Обсуждение

URL

2013-01-20 в 03:14

wpoms

Step by step ...

1997 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. `N` является четырехзначным числом, которое не заканчивается на нуль, а `R (N)` является четырехзначным числом, полученным путем перестановки цифр `N` в обратном порядке, например, `R (3275) = 5723`.
Найдите все такие целые `N`, для которых `R (N) = 4N + 3`.
Обсуждение

2. Последовательность `a_1, a_2, a_3, ldots, a_n, ldots` определена следующим образом:
`a_1 = 1` и `a_n = ({n + 1} / {n - 1}) * (a_1 + a_2 + a_3 + ldots + a_ {n-1})` для всех натуральных чисел `n > 1`
Найдите значение `a_ {1997}`.
Обсуждение

3. Гномы из Царства под Горой полностью перешли на десятичную денежную систему с золотыми монетами достоинством 1, 10, 100 и 1000 Пиппинов.
Сколькими способами гном может оплатить счет на 1997 Пиппенов?
Обсуждение

4. Пусть `ABCD` выпуклый четырёхугольник. Точки `P`, `Q`, `R` and `S` - середины сторон `AB`, `BC`, `CD` and `DA`, соответственно. Если известно, что площадь четырёхугольника `PQRS` равна 1, то докажите, что площадь `ABCD` равна 2.
Обсуждение

5. Пусть `x`, `y` и `z` положительные действительные числа.
а) Если `x + y + z >= 3`, то всегда ли верно неравенство `1/x + 1/y + 1/z <= 3`?
б) Если `x + y +z <= 3`, то всегда ли верно неравенство `1/x + 1/y + 1/z >= 3`?
Обсуждение

URL

2013-01-20 в 03:18

wpoms

Step by step ...

1997 British Mathematical Olympiad

Round 2

1. Пусть `M` и `N` два [различных] девятизначных натуральных числа, такие, что если какую-либо одну цифру `M` заменить на соответствующую цифру `N` (например, цифру в разряде десятков числа `M` заменить цифрой разряда десятков числа `N`), то полученное целое число будет кратно 7. Докажите, что любое число, получаемое заменой цифры числа `N` на соответствующую цифру числа `M`, также является кратным 7.
Найти целое число `d > 9`, при которым описанное выше свойство делимости на 7 остается верным, когда `M` и `N` два [различных] `d`-значных натуральных числа.
Обсуждение

2. В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высота `CF` и медиана `BM`, где точки `F in AB` и `M in CA`. Доказать, что если `BM = CF` и `/_MBC = /_FCA`, то треугольник `ABC` является равносторонним.
Обсуждение

3. Найти число многочленов пятой степени с различными [не равными друг другу] коэффициентами,выбираемыми из множества `{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}`, которые делятся на `x ^ 2 - x + 1`.
Обсуждение

4. Множество `S = {1/r : r = 1, 2, 3, ldots}`, состоящее из обратных величин к натуральным числам, содержит арифметические прогрессии различной длины. Например, `1/20`, `1/8`, `1/5` является прогрессией длины 3 с разностью `3/40`. Более того, для данной прогрессии это максимальная длина, поскольку она не может быть продолжена ни влево ни вправо, так как числа `-1/40` и `11/40` не принадлежат множеству `S`.
а) Найти прогрессию в `S` максимальной длины 1996.
б) Существуют ли в `S` прогрессии максимальной длины 1997?
Обсуждение

URL

2013-01-20 в 03:20

wpoms

Step by step ...

1998 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. `5 times 5` квадрат разделен на 25 равных маленьких квадратов. В каждый маленький квадрат записывается одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, при этом в каждой строке, каждом столбец и каждой из двух диагоналей содержится каждое из этих пяти чисел только один раз. Сумму чисел в четырех квадратах, расположенных под диагональю, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, будем называть оценкой.
а) Показать, что оценка не может быть равной 20.
б) Чему равна наибольшая оценка?
Обсуждение

2. Пусть `a_1 = 19, a_2 = 98`. Для `n >= 1` число `a_{n+2}` определим как остаток от деления `a_n + a_{n+1}` на 100. Чему равен остаток от деления `a_1^2 + a_2^2 + ldots + a_{1998}^2` на 8?
Обсуждение

3. В равнобедренном треугольнике `ABP` `AB = AP` и `/_PAB` - острый угол. `PC` - прямая, перпендикулярная `BP`, а точка `C` этой прямой расположена относительно `BP` в той же полуплоскости, что и точка `A`, но не лежит на прямой `AB`. Точка `D` является четвёртой вершиной параллелограмма `ABCD`. `PC ` пересекает `DA` в точке `M`.
Докажите, что `M` является серединой `DA`.
Обсуждение

4. Показать, что существует единственная последовательность натуральных чисел `{a_n}`, удовлетворяющие следующим условиям:
`a_1 = 1`, `a_2 = 2`, `a_4 = 12`, `a_{n+1}*a_{n-1} = a_n^2 pm 1` при `n = 2, 3, 4, ldots `.
Обсуждение

5. В треугольнике `ABC` точка `D` является серединой `AB`, а точка `E` отрезка `BC`, такова, что CE:EB = 1:2.
Найти `/_BAC`, если `/_ADC = /_BAE`
Обсуждение

URL

2013-02-04 в 20:28

Гость

1998, round 2

1. В кассе железнодорожного вокзала продают билеты в 200 пунктов назначения. В один из дней билеты [до всех этих пунктов назначения] купили 3800 пассажиров. Покажите, что:
а) есть не менее 6 пунктов назначения, в которые отправилось равное число пассажиров;
б) утверждение а) становится ложным, если "6" заменить на "7".
Обсуждение

2. В треугольнике `ABC` `/_BAC > /_BCA`. Прямая `AP` проходит так, что `/_PAC = /_BCA`, где `P` - точка, расположенная внутри треугольника. Точка `Q` расположена вне треугольника так, что `PQ` параллельно `AB`, а `BQ` параллельно `AC`. Точка `R` лежит на `BC` так, что `R` и `Q` расположены в разных полуплоскостях относительно прямой `AP`, и так, что `/_PRQ = /_BCA`.
Докажите, что окружности, описанные около треугольников `ABC` и`PQR`, касаются друг друга.
Обсуждение

3. Пусть `x, y, z` натуральные числа, удовлетворяющие равенству `1/x - 1/y = 1/z`, а число `h` является наибольшим общим делителем `x, y, z`.
а) Докажите, что `h*x*y*z` является полным квадратом.
б) Докажите, что `h*(y - x)` так же является полным квадратом.
Обсуждение

4. Найти решение системы уравнений `xy + yz + zx = 12, \ \ xyz = 2 + x + y + z`, где`x, y, z` положительные числа, и доказать, что оно является единственным подобным решением.
Показать, что существует решение, в котором `x, y, z` действительны и различны.
Обсуждение

URL

2013-02-04 в 20:28

Гость

1999 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. У меня четыре ребенка. Возраст в годах каждого из них - натуральное число между 2 и 16 включительно и все четыре возраста различны. Год тому назад квадрат возраста старшего ребенка был равен сумме квадратов возрастов трех остальных. В один из годов сумма квадратов возрастов старшего и младшего ребенка была равна сумме квадратов возрастов двух других детей. Определите, достаточно ли этой информации для однозначного определения возрастов всех детей, и найдите все возможные варианты их возрастов.
Обсуждение

2. Дана окружность с диаметром AB и точка X лежащая на AB между A и B. Точка P, отличная от A и B, принадлежит окружности. Докажите, что для всех возможных положений P

`(tan /_ APX)/(tan /_PAX)`

остается постоянным.
Обсуждение

3. Найдите положительную константу `c` для которой уравнение

`xy^2 - y^2 - x + y = c`

имеет ровно три решения `(x, y)` в натуральных числах.
Обсуждение

4. Любое натуральное число `m` может быть единственным образом записано в системе счисления с основанием `3` в виде строки из нулей, единиц и двоек (не начинаясь с нуля). Например,

`98 = (1*81) + (0*27) + (1*9) + (2*3) + (2*1) = (10122)_3`.

Пусть `c(m)` обозначает сумму кубов цифр в записи числа `m` в позиционной системе с основанием 3; так, например,

`c(98) = 1^3 + 0^3 + 1^3 + 2^3 + 2^3 = 18`.

Пусть `n` - некоторое фиксированное натуральное число. Определим последовательность `(u_r)` соотношениями

`u_1 = n` и `u_r = c(u_{r-1})` для `r >= 2`.

Покажите, что существует натуральное число `r`, для которого `u_r = 1`, `2` или `17`.
Обсуждение

5. Рассмотрим функции `f: NN -> NN` для которых верны условия
(a) для каждого натурального числа `m` существует единственное натуральное число `n`, для которого `f(n) = m`;
(b) для каждого натурального числа `n` верно, что значение `f(n + 1)` равно `4f(n) - 1` или `f(n) - 1`.
Найдите все натуральные числа `p`, таких, что `f(1999) = p` для некоторой функции `f`, удовлетворяющей условиям (a) и (b).
Обсуждение

URL

2013-02-04 в 20:28

Гость

1999 British Mathematical Olympiad

Round 2

1. Для всех натуральных чисел `n` обозначим через `S_n` множество состоящее из первых `n` натуральных чисел, т.е. `S_n = {1, 2, 3, 4, . . . , n − 1, n}`.
(a) Для каких значений `n` возможно представить `S_n` как объединение двух не пустых, не содержащих общие элементы, множеств, суммы элементов которых равны друг другу?
(b) Для каких значений `n` возможно представить `S_n` как объединение трех не пустых, не содержащих общие элементы, множеств, суммы элементов которых равны друг другу?
Обсуждение

2. ABCDEF - шестиугольник (не обязательно правильный), описанный около окружности S. (Это означает, что S касается каждой из шести сторон шестиугольника.) Окружность S касается AB, CD, EF в их серединах P, Q, R, соответственно. Пусть X, Y, Z точки касания S с BC, DE, FA, соответственно. Докажите, что PY, QZ, RX ~~параллельны~~ пересекаются в одной точке.
Обсуждение

3. Неотрицательные действительные числа `p`, `q` and `r` удовлетворяют `p + q + r = 1`. Докажите, что `7(pq + qr + rp) le 2 + 9pqr`.
Обсуждение

4. Рассмотрим все числа вида `3n^2 + n + 1`, где `n` натуральное число.
(a) Найдите наименьшее значение суммы цифр подобного числа в десятичной системе счисления.
(b) Существует ли такое число, сумма цифр которого в десятичной системе счисления равна 1999?
Обсуждение

URL

2013-05-12 в 01:07

Гость

2000 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. Две пересекающиеся окружности `C_1` и `C_2` имеют общую касательную, которая касается `C_1` в точке `P` и `C_2` в точке `Q`. Окружности пересекаются в точках `M` и `N`, точка `N` ближе к `PQ`, чем точка `M`. Прямая `PN` пересекает повторно окружность `C_2` в точке `R`. Докажите, что `MQ` делит пополам угол `PMR`.
обсуждение

2. Покажите, для каждого натурального числа `n` верно, что `121^n - 25^n + 1900^n - (-4)^n` делится на `2000`.
обсуждение

3. Дан треугольник `ABC` с прямым углом `A`. Среди всех точек `P`, которые принадлежат сторонам треугольника, найдите ту, для которой величина `AP + BP + CP` минимальна.
обсуждение

4. Для натуральных чисел `k > 1`, определим последовательность `{a_n}` равенствами `a_0 = 1` и `a_n = k*n+ (-1)^n*a_{n-1}` (для всех `n >= 1`). Найдите все значения `k`, для которых `2000` является членом последовательности.
обсуждение

5. Семь гномов решили создать четыре команды, чтобы принять участие в Викторине Тысячелетия. Конечно, не все размеры команд будут равны. Например, одна команда может состоять только из Профессора, другая из Простака, третья из Сони, Весельчака и Ворчуна, и последняя из Скромника и Чихуна. Сколькими способами могут быть составлены четыре команды? (Порядок команд или гномов в рамках команды не имеют значения, но каждый гном должен находиться точно в одной из команд.)
Предположим, что и Белоснежка согласилась принять участие в Викторине. Сколькими способами можно составить четыре команды в этом случае?

URL

2013-05-16 в 01:31

Гость

2000 British Mathematical Olympiad

Round 2

1. Две пересекающиеся окружности `C_1` and `C_2` имеют общую касательную, которая касается `C_1` в точке `P` и `C_2` в точке `Q`. Окружности пересекаются в точках `M` и `N`, `N` ближе к `PQ` чем `M`. Докажите, что площади треугольников `MNP` и `MNQ` равны.
обсуждение

2. Даны положительные действительные числа `x`, `y`, `z`, удовлетворяющие равенству `x*y*z = 32`. Найдите минимальное значение `x^2 + 4*x*y + 4y^2 + 2*z^2`.
обсуждение

3. Найдите натуральные числа `a` и `b`, для которых `(root(3)(a) + root(3)(b) - 1)^2 = 49 + 20 root(3)(6)`.
обсуждение

4.(a) Найдите множество `A` из десяти натуральных чисел, для которого верно, что сумма никаких шести различных элементов `A` не делится на `6`.
(b) Можно ли найти такое множество, если “десять” в условии будет заменено на “одиннадцать” ?
обсуждение

URL

2013-05-27 в 00:27

Гость

2001 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. Найдите все двузначные целые `N`, для которых сумма цифр числа `10^N - N` делится на `170`.
обсуждение

2. Окружность `S` расположена внутри окружности `T` и касается её в точке `A`. Из точки `P` (отличной от точки `A`) на окружности `T` проведены хорды `PQ` и `PR`, которые касаются окружности `S` в точках `X` и `Y`, соответственно. Покажите, что `/_QAR = 2/_XAY`.
обсуждение

3. Тетромино - это фигура, составленная из четырех квадратов, касающихся общими сторонами.
(i) Если не различать тетрамино, которые можно получить друг из друга вращением на плоскости, то докажите, что есть ровно семь различных тетрамино.
(ii) Докажите или опровергните утверждение: Можно сложить эти семь тетрамино в прямоугольник размером `4 xx 7` без наложений.
обсуждение

4. Последовательность `(a_n)` задана соотношением `a_n = n + {sqrt(n)}`, где `n` - натуральное число и `{x}` обозначает ближайшее к `x` целое число (округление половинок происходит вверх). Определите наименьшее целое число `k` для которого члены последовательности `a_k, a_{k+1}, ..., a_{k+2000}` образуют последовательность из `2001` последовательных целых чисел.
обсуждение

5. Длины сторон треугольника равны `a`, `b`, `c` и длина радиуса его описанной окружности равна `R`. Докажите, что треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда `a^2 + b^2 + c^2 = 8R^2`.
обсуждение

URL

2013-06-01 в 00:45

Гость

2001 British Mathematical Olympiad

Round 2

1. Ахмед и Бет имеют, соответственно, `p` и `q` шариков (`p > q`). Начиная с Ахмета, каждый во время своего хода дает другому столько шариков, сколько тот уже имеет. После `2n` таких передач шариков оказалось, что у Ахмета стало `q` шариков, а Бет, соответственно, их стало `p`. Выразите `p/q` в виде выражения, зависящего только от `n`.
обсуждение

2. Найдите все пары целых чисел `(x, y)`, удовлетворяющие `1 + x^2y = x^2 + 2xy + 2x + y`.
обсуждение

3. В треугольнике `ABC` `/_ACB > /_ABC`. Биссектриса `/_BAC` пересекает `BC` в точке `D`. Точка `E` на `AB` такова, что `/_EDB = 90^@`. Точка `F` на `AC` такова, что `/_BED = /_DEF`. Покажите, что `/_BAD = /_FDC`.
обсуждение

4. `N` гномов высотой `1, 2, 3,..., N` встали в круг. Для каждой пары соседних гномов вычисляется положительная разность их роста; сумму этих `N` разностей назовем “общей вариацией” `V` этой расстановки гномов. Найдите (и обоснуйте) наибольшее и наименьшее возможное значение `V`.
обсуждение

URL

2013-06-13 в 00:01

Гость

2001-2002 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. Найдите все натуральные числа `m`, `n` (`n` - нечетное), удовлетворяющие `1/m + 4/n = 1/12`.
обсуждение

2. Четырехугольник `ABCD` вписан в окружность. Диагонали `AC`, `BD` пересекаются в точке `Q`. Сторона `DA`, продолженная за точку `A`, и сторона `CB`, продолженная за точку `B`, пересекаются в точке `P`. Известно, что `CD = CP = DQ`. Докажите, что `/_CAD = 60^@`.
обсуждение

3. Найдите все положительные действительные решения уравнения `x+lfloor x/6 rfloor = lfloor x/2 rfloor + lfloor (2x)/3 rfloor`, где `lfloor t rfloor` обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное действительному числу `t`.
обсуждение

4. Двадцать людей сидят вокруг круглого стола. Сколькими способами шесть пар людей могут могут одновременно обменяться рукопожатиями при условии, что их руки не пересекаются? (Никто не пожимает руку более, чем одному человеку одновременно.)
обсуждение

5. `f` - функция из `ZZ^+` в `ZZ^+`, где `ZZ^+` - множество неотрицательных целых чисел, обладает следующими свойствами:
a) `f(n + 1) > f(n)` для всех `n in ZZ^+`,
b) `f(n + f(m)) = f(n) + m + 1` для всех `m, n in ZZ^+`.
Найдите все возможные значения `f(2001)`.
обсуждение

URL

2013-06-19 в 01:14

Гость

2001-2002 British Mathematical Olympiad

Round 2

1. Высота, опущенная из одной вершины остроугольного треугольника `ABC`, пересекает противоположную сторону в точке `D`. Из точки `D` опущены перпендикуляры `DE` и `DF` на две другие стороны. Докажите, что длина `EF` не зависит от выбора вершины.
обсуждение

2. В конференц-зале есть круглый стол с `n` стульями. На конференцию приехали `n` делегатов. Первый делегат выбирает свой стул произвольным образом. Далее, `(k + 1)`-ый делегат садится на `k` мест правее `k`-ого делегата (`1 <= k <= n - 1`). (В частности, второй делегат садится рядом с первым.) Ни один стул не может быть занят более чем одним делегатом. Найдите множество значений `n`, для которых это возможно.
обсуждение

3. Докажите, что последовательность, определенная условиями `y_0 = 1`, `y_{n+1} = 1/2(3y_n + sqrt(5y_n^2 - 4))`, (`n >= 0`), состоит только из целых чисел.
обсуждение

4. Пусть `B_1, ... , B_n` - единичные сферы в пространстве, каждая из которых касается внешним образом ровно двух других. Пусть `C_1,..., C_n` - точки касания сфер, пусть `P` - точка, расположенная вне всех этих сфер. Обозначим через `t_i` длину касательной из точки `P` к сфере `B_i` (`1 <= i <= n`) . Докажите, что произведение `t_i` не превосходит произведения расстояний `PC_i`.
обсуждение

URL

2013-07-25 в 02:34

wpoms.

Step by step ...

2002/3 British Mathematical Olympiad
Round 1

1. `34! = 295 \ 232 \ 799 \ cd9 \ 604 \ 140 \ 847 \ 618 \ 609 \ 643 \ 5ab \ 000 \ 000`. Найдите цифры `a`, `b`, `c`, `d`.
обсуждение

2. Около треугольника `ABC`, у которого `AB < AC`, описана окружность `S`. Прямая, перпендикулярная `BC` и проходящая через точку `A`, пересекает окружность `S` второй раз в точке `P`. Точка `X` лежит на отрезке `AC`, а прямая `BX` пересекает окружность `S` второй раз в точке `Q`. Покажите, что `BX = CX` тогда и только тогда, когда `PQ` является диаметром `S`.
обсуждение

3. Пусть `x`, `y`, `z` - положительные действительные числа, удовлетворяющие `x^2 + y^2 + z^2 = 1`. Докажите, что `x^2*y*z + x*y^2*z + x*y*z^2 <= 1/3`.
обсуждение

4. Пусть `m` и `n` - целые числа, большие `1`. Рассмотрим `m xx n` прямоугольную сетку точек на плоскости. `k` из этих точек окрашены в красный цвет, при этом никакие три точки не являются вершинами прямоугольного треугольника, две стороны которого параллельны сторонам сетки. Найдите наибольшее возможное значение `k`.
обсуждение

5. Найдите все натуральные числа `a`, `b`, `c`, удовлетворяющие уравнению `a! * b! = a! + b! + c!`.
обсуждение

Round 2

1. Для каждого целого числа `n > 1` обозначим наибольший простой делитель `n` как `p(n)`. Найдите все тройки различных натуральных чисел `x`,`y`,`z`, удовлетворяющие условиям:
(а) `x`, `y`, `z` образуют арифметическую прогрессию,
(б) `p(xyz) <= 3`.
обсуждение

2. Дан треугольник `ABC`, точка `D` лежит на `AB`, при этом `4*AD = AB`. Луч `l` с началом в точке `D` принадлежит той же полуплоскости относительно `AB`, что и точка `C`, и задает вместе с `DA` угол величиной `theta`, при этом `theta = /_ACB`. Окружность, описанная около `ABC`, пересекает луч `l` в точке `P`. Покажите, что `PB = 2*PD`.
обсуждение

3. Функция `f : NN -> NN` задает перестановку элементов множества всех натуральных чисел`NN`.
(а) Покажите, что существует арифметическая прогрессия из натуральных чисел `a`, `a + d`, `a + 2d` (`d > 0`), для которой `f(a) < f(a + d) < f(a + 2d)`.
(б) Существует ли арифметическая прогрессия `a, a + d,..., a + 2003d`, где `d > 0`, для которой `f(a) < f(a + d) < ... < f(a + 2003d)`?
[Перестановкой множества `NN` называется определенная на `NN` взаимно-однозначная функция, множеством значений которой является все множество `NN`, то есть функция из `NN` в `NN`, такая что для всех `m in NN` существует уникальное `n in NN`, для которого `f(n) = m`.]
обсуждение

4. Пусть `f` - функция из множества неотрицательных целых чисел в себя, такая что для всех `n >= 0` выполняются следующие условия:
(а) `(f(2n + 1))^2 - (f(2n))^2 = 6f(n) + 1`
(б) `f(2n) >= f(n)`.
Какое количество чисел, меньших `2003`, принадлежит множеству функции значений `f`?
обсуждение

URL

2013-09-20 в 14:33

wpoms.

Step by step ...

2003/4 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. Найдите все действительные решения `(a, b, c, d)` системы уравнений `{(ab + c + d = 3), (bc + d + a = 5), (cd + a + b = 2), (d*a + b + c = 6):}.`
обсуждение

2. Дан прямоугольник `ABCD`, `P` - середина `AB`. `Q` принадлежит `PD`, при этом `CQ` перпендикулярна `PD`. Докажите, что треугольник `BQC` равнобедренный.
обсуждение

3. Алиса и Барбара играют с колодой из `2n` карт, на каждой из которых написано натуральное число. Колода перетасовывается и карты выкладываются в ряд числами вверх. Алиса начинает игру и девочки по очереди забирают себе по одной карте с любого конца ряда. Барбаре достается последняя карта. В конце игры девочки подсчитывают сумму чисел на своих карточках. Докажите, что Алиса всегда может получить сумму не меньшую, чем у Барбары.
обсуждение

4. Множество, состоящее из натуральных чисел, назовем злым, если в нем не содержится трех последовательных чисел. Будем рассматривать пустое множество, которое не содержит элементов, как злое множество. Найдите количество злых подмножеств множества `{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}`.
обсуждение

5. Пусть `p`, `q` и `r` - простые числа, для которых `p` делит `qr - 1`, `q` делит `rp - 1` и `r` делит `pq - 1`. Определите все возможные значения `pqr`.
обсуждение

Round 2

1. Дан равносторонний треугольник `ABC`, `D` - внутренняя точка стороны `BC`. Окружность, касающаяся `BC` в точке `D`, пересекает сторону `AB` в внутренних точках `M` и `N` и сторону `AC` в внутренних точках `P` и `Q`. Покажите, что `BD + AM + AN = CD + AP + AQ`.
обсуждение

2. Покажите, что существует целое число `n` с следующими свойствами:
(i) двоичное представление `n` имеет точно `2004` нулей и `2004` единиц;
(ii) `n` кратно `2004`.
обсуждение

3. (a) Даны действительные числа `a`, `b`, `c` (`a + b + c = 0`). Докажите, что `a^3+ b^3 + c^3 > 0` тогда и только тогда, когда `a^5 + b^5 + c^5 > 0`.
(b) Даны действительные числа `a`, `b`, `c`, `d` (`a + b + c + d = 0`). Докажите, что `a^3 + b^3 + c^3 + d^3 > 0` тогда и только тогда, когда `a^5 + b^5 + c^5 + d^5 > 0`.
обсуждение

4. Действительное число `x` (`0 < x < 1`) имеет десятичное представление `0.a_1a_2a_3a_4...` с таким свойством: количество различных блоков вида `a_ka_{k+1}a_{k+2}...a_{k+2003}` (для всех натуральных `k`) меньше или равно `2004`. Докажите, что `x` является рациональным числом.
обсуждение

URL

2013-10-28 в 23:37

wpoms.

Step by step ...

2004/5 British Mathematical Olympiad
Round 1

1. И Петя и Женя имеют по целому числу рублей. Петя сказал: “Если ты дашь мне ` 3` рубля, то у меня будет в `n` раз больше рублей, чем у тебя”. Женя сказала: “Если ты дашь мне `n` рублей, то у меня будет в `3` раза больше рублей, чем у тебя”.
Предположив, что все эти высказывания истины и что `n` является натуральным числом, укажите все возможные значения `n`.
обсуждение

2. Дан остроугольный треугольник `ABC`, точки `D`, `E` являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точек `A`, `B` на `BC`, `CA`, соответственно. Точка `P` является точкой пересечения прямой `AD` с полуокружностью, построенной внешним образом на `BC` и точка `Q` является точкой пересечения прямой `BE` с полуокружностью, построенной внешним образом на `AC`. Докажите, что `CP = CQ`.
обсуждение

3. Определите наименьшее натуральное число `n`, для которого верно утверждение:
Вне зависимости от того, как элементы множества `{1, 2,..., n}` окрашены в красный или синий цвет, существуют одноцветные элементы этого множества `x`, `y`, `z`, `w` (не обязательно различные), удовлетворяющие `x + y + z = w`.
обсуждение

4. Определите наименьшее возможное значение наибольшего члена арифметической прогрессии из семи различных простых чисел.
обсуждение

5. `S` - подмножество множества рациональных чисел, обладающее следующими свойствами:
i) `1/2 in S`;
ii) Если `x in S`, то `1/(x+1) in S` и `x/(x+1) in S`.
Докажите, что `S` содержит все рациональные числа в интервале `0 < x < 1`.
обсуждение

Round 2

1. Дано натуральное число `N`. Ровно `2005` упорядоченных пар `(x,y)` натуральных чисел удовлетворяют равенству `1/x+1/y=1/N`. Докажите, что `N` является квадратом натурального числа.
обсуждение

2. В треугольнике `ABC`, `/_BAC = 120^@`. Биссектрисы углов `A`, `B` and `C` пересекают противоположные стороны в точках `D`, `E` и `F`, соответственно. Докажите, что окружность, построенная на `EF` как на диаметре, проходит через `D`.
обсуждение

3. Пусть `a`, `b`, `c` - положительные действительные числа. Докажите, что `(a/b+b/c+c/a)^2 >= (a + b + c)(1/a+1/b+1/c)`.
обсуждение

4. Пусть `X = {A_1, A_2,..., A_n}` - множество, состоящее из различных трехэлементных подмножеств множества `{1,2,..., 36}`, удовлетворяющее условиям
а) `A_i` и `A_j` имеют непустое пересечение для всех `i`,`j`.
б) Пересечение всех элементов `X` пусто.
Покажите, что `n <= 100`. Сколько существует различных множеств `X` при `n = 100`?
обсуждение

URL

2013-12-07 в 23:27

wpoms.

Step by step ...

2005/6 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. Натуральное число `n` больше `6`. Докажите, что если `n - 1` и `n + 1` простые числа, то `n^2(n^2 + 16)` делится на `720`. Будет ли верно обратное?
обсуждение

2. Адриан преподает в классе состоящем из шести пар близнецов. Он хочет разделить класс на команды для участия в викторине, но не хочет чтобы пары близнецов были в одной команде. В соответствии с этим условием:
i) Сколькими способами он может создать две команды по шесть человек?
ii) Сколькими способами он может создать три команды по четыре человека?
обсуждение

3. Диагональ `AC` вписанного в окружность четырехугольника `ABCD` делит пополам угол `DAB`. На продолжении стороны `AD` за точку `D` выбрана точка `E`. Покажите, что `CE = CA` тогда и только тогда, когда `DE = AB`.
обсуждение

4. Длины сторон равностороннего треугольника `ABC` выражаются целым числом `N`. Треугольник разбит (параллельными его сторонам прямыми) на равносторонние треугольники с длиной стороны `1`, назовем их ячейки. Выбирается непрерывный маршрут, который начинается из внутренней точки ячейки с вершиной `A` и проходит из ячейки в другую через их общую сторону. Ни одна ячейка не посещается более одного раза. Найдите, с доказательством, наибольшее количество ячеек, которые можно посетить с соблюдением указанных условий.
обсуждение

5. Дан выпуклый четырехугольник `G`. Покажите, что в плоскости `G` существует точка `X`, такая что любая прямая, проходящая через нее делит `G` на две области равной площади, тогда и только тогда, когда `G` является параллелограммом.
обсуждение

6. Дано множество `T`, состоящее из `2005` точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Покажите, что, для любой из `2005` точек `X`, количество треугольников с вершинами из `T`, внутренней области которых принадлежит точка `X`, четно.
обсуждение

Round 2

1. Найдите наименьшее возможное значение `x^2 + y^2`, если действительные числа `x` и `y` удовлетворяют условиям `xy(x^2 - y^2) = x^2 + y^2` и `x!= 0`.
обсуждение

2. Все простые делители натуральных чисел `x` и `y` не превышают `5`. Найдите все `x` и `y`, которые удовлетворяют равенству `x^2 - y^2 = 2^k` для некоторого неотрицательного целого числа `k`.
обсуждение

3. Дан треугольник `ABC`, у которого `AC > AB`. Точка `X` лежит на продолжении стороны `BA` за точку `A`, а точка `Y` лежит на стороне `CA`, при этом `BX = CA` и `CY = BA`. Прямая `XY` пересекается серединный перпендикуляр к стороне `BC` в точке `P`. Покажите, что `/_BPC + /_BAC = 180^@`.
обсуждение

4. Экзамен, содержащий шесть заданий, сдали `2006` детей. Каждое задание оценивалось как верное или неверное. Любые три ребенка вместе дали правильные ответы по крайней мере на пять из шести заданий. Пусть `N` обозначает общее количество верных ответов всех детей (т.е. общее количество верно выполненных первым ребенком заданий + общее количество верно выполненных вторым ребенком заданий + ... + общее количество верно выполненных `2006`-м ребенком заданий). Найдите наименьшее возможное значение `N`.
обсуждение

URL

2014-01-26 в 13:48

wpoms.

Step by step ...

2006/7 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. Найдите четыре простых числа, меньших `100`, являющихся делителями `3^32 - 2^32`.
обсуждение

2. Дан выпуклый четырехугольник `ABCD`, точки `M`, `N` лежат на стороне `AB` и `AM = MN = NB`, точки `P`, `Q` лежат на стороне `CD` и `CP = PQ = QD`. Докажите, что площади `AMCP` и `MNPQ` равны трети площади `ABCD`.
обсуждение

3. Число `916238457` является примером девятизначного числа, в котором каждая цифра от `1` до `9` присутствует ровно по одному разу, при этом цифры от `1` до `5` располагаются в естественном порядке, но для цифр от `1` до `6` это не выполняется. Сколько всего подобных чисел?
обсуждение

4. Две касающиеся окружности `S` и `T` имеют общую касательную, которая касается `S` в точке `A` и `T` в точке `B`. `AP` - диаметр `S`, касательная из точки `P` к `T` касается окружности в точке `Q`. Покажите, что `AP = PQ`.
обсуждение

5. Докажите, что для положительных действительных чисел `a`, `b`, `c` верно неравенство `(a^2 + b^2)^2 >= (a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)`.
обсуждение

6. `n` - целое число. Покажите, что, если `2 + 2sqrt(1 + 12n^2)` является целым числом, то это число является полным квадратом.
обсуждение

Round 2

1. Длины сторон треугольника `ABC` выражаются целыми числами, при этом `AC = 2007`. Биссектриса угла `/_BAC` пересекает `BC` в точке `D`. Найдите `AB` и `BC`, если `AB = CD`.
обсуждение

2. Покажите, что существует бесконечно много пар натуральных чисел `(m, n)`, для которых `(m + 1)/n+ (n + 1)/m` является натуральным числом.
обсуждение

3. Дан остроугольный треугольник `ABC`, у которого `AB > AC` и `/_BAC = 60^@`. Обозначим центр описанной окружности как `O` и ортоцентр как `H`. `OH` пересекает `AB` в точке `P` и `AC` в точке `Q`. Докажите, что `PO = HQ`.
обсуждение

4. В стране Шестиугольнии шесть городов соединены сетью железных дорог, которая прямо соединяет все пары городов. По воскресеньям некоторые линии могут быть закрыты для ремонта. Устав железной дороги предписывает, что всегда должна существовать возможность проехать из одного города в другой (не обязательно напрямую). Сколькими различными способами можно закрыть движение по линиям для ремонта с учетом этого требования?
обсуждение

URL

2014-03-25 в 00:16

wpoms.

Step by step ...

2007/8 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. Найдите значение выражения `(1^4 + 2007^4 + 2008^4)/ (1^2 + 2007^2 + 2008^2)`.
обсуждение

2. Найдите все натуральные решения `x`, `y`, `z` системы уравнений `x + y - z = 12` и `x^2 + y^2 - z^2 = 12`.
обсуждение

3. Дан треугольник `ABC` с тупым углом `A`. Точка `Q` лежит на описанной окружности, с той же стороны от хорды `BC`, что и `A`, и отлична от точек `A`, `B` и `C`, `PQ` - диаметр окружности. Точки `V` и `W` - основания перпендикуляров из `Q` на `CA` и `AB`, соответственно. Докажите, что треугольники `PBC` и `AWV` подобны.
обсуждение

4. `S` - подмножество множества чисел `{1, 2, 3,..., 2008}`, которое состоит из `756` различных чисел. Покажите, что оно содержит два различных элемента `a`, `b`, такие, что `a + b` делится на `8`.
обсуждение

5. Точка `P` находится внутри треугольника `ABC`. Прямая, проходящая через `P` параллельно `AB`, пересекает `BC` в точке `L`, прямая, проходящая через `P` параллельно `BC`, пересекает `CA` в точке `M`, прямая, проходящая через `P` параллельно `CA`, пересекает `AB` в точке `N`. Докажите, что `(BL)/(LC) xx (CM)/(MA) xx (AN)/(NB) <= 1/8` и определите, где должна находиться точка `P` в треугольнике `ABC` для достижения равенства.
обсуждение

6. Функция `f` определена на множестве натуральных чисел следующими условиями: `f(1) = 1`, `f(2n) = 2f(n)` и `nf(2n + 1) = (2n + 1 )(f(n) + n)` для всех `n >= 1`.
i) Докажите, что `f(n)` - целое число.
ii) Для какого количества натуральных чисел меньших `2007` выполняется равенство `f(n) = 2n` ?
обсуждение

Round 2

1. Найдите наименьшее значение `x^2 + y^2 + z^2`, где `x`, `y`, `z` - действительные числа, удовлетворяющие `x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 1`.
обсуждение

2. Дан треугольник `ABC`, `I` - центр его вписанной окружности и `O` - центр его описанной окружности. `/_AIO = 90^@` и `/_CIO = 45^@`. Найдите отношение `AB : BC : CA`.
обсуждение

3.Адриан нарисовал на плоскости `Oxy` окружность с радиусом, длина которой выражается целым числом не превышающим `2008`. Начало координат находится внутри этой окружности. Вы можете задавать ему вопросы вида “Находится ли точка с координатами `(x, y)` внутри окружности?” После каждого вопроса он честно отвечает “да” или “нет”. Покажите, что всегда возможно определить длину радиуса окружности задав не более шести вопросов. [Примечание: Точки лежащие на окружности рассматриваются как точки лежащие внутри окружности.]
обсуждение

4. Докажите, что существует бесконечно много пар различных натуральных чисел `x`, `y` таких, что `x^2 + y^3` делится на `x^3 + y^2`.
обсуждение

URL

2014-05-24 в 21:15

wpoms.

Step by step ...

2008/9 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. Рассмотрим стандартную `8 xx 8` шахматную доску, состоящую из `64` маленьких квадратов, окрашенных обычным образом, `32` квадрата черные и `32` - белые. Назовем зигзагообразным путем через доску набор из восьми белых квадратов, по одному в каждой горизонтали, которые соприкасаются углами. Сколько всего существует зигзагообразных путей?
обсуждение

2. Найдите все действительные значения `x`, `y` и `z`, для которых `(x + 1)*y*z = 12`, `(y + 1)*z*x = 4` и `(z + 1)*x*y = 4`
обсуждение

3. Дан параллелограмм `ABPC`, такой что `ABC` - остроугольный треугольник. Окружность, описанная около треугольника `ABC`, пересекает прямую `CP` в точке `Q`, отличной от `C`. Докажите, что `PQ = AC` тогда и только тогда, когда `/_BAC = 60^@`.
обсуждение

4. Найдите все натуральные `n`, такие что `n^2 + 2008` кратно `n + 2008`, а `n^2 + 2009` кратно `n + 2009`.
обсуждение

5.Найдите последовательности `a_0, a_1, a_2,...`, удовлетворяющие всем условиям:
a) `a_{n+1} = 2a_n^2 - 1` для всех целых `n >= 0`,
b) `a_0` - рациональное число,
c) `a_i = a_j` для некоторых `i`, `j` (`i != j`).
обсуждение

6. Длины сторон тупоугольного треугольника `ABC` противолежащих углам `A`, `B` и `C`равны `a`, `b` и `c`, соответственно. Докажите, что `a^3 cos A + b^3 cos B + c^3 cos C < abc`.
обсуждение

Round 2

1. Найдите все решения в неотрицательных целых числах `a`, `b` уравнения `sqrt(a) + sqrt(b) = sqrt(2009)`.
обсуждение

2. Дан остроугольный треугольник `ABC` с `/_B = /_C`. Обозначим центр описанной окружности как `O` и ортоцентр как `H`. Докажите, что центр окружности `BOH` лежит на прямой `AB`.
обсуждение

3. Найдите все функции `f` из множества действительных чисел в множество действительных чисел удовлетворяющие равенству `f(x^3) + f(y^3) = (x + y)(f(x^2) + f(y^2) - f(xy))` для всех действительных чисел `x` и `y`.
обсуждение

4. Для натурального числа `n` через `b(n)` обозначим количество натуральных чисел, чье двоичное представление содержится в двоичном представлении числа `n` в виде последовательности последовательных цифр . Например, `b(13) = 6` так как `13 = 1101_2`, а двоичная запись числа 13 содержит двоичное представления шести чисел: `13 = 1101_2`, `6 = 110_2`, `5 = 101_2`, `3 = 11_2`, `2 = 10_2` and `1 = 1_2`. Покажите, что, если `n <= 2500`, то `b(n) <= 39` и определите для каких значений `n` достигается равенство `b(n) = 39`.
обсуждение

URL

2014-07-23 в 22:07

wpoms.

Step by step ...

2009/10 British Mathematical Olympiad

Round 1:

1. Найдите все целые `x`, `y` и `z`, которые являются решением системы уравнений `x^2 + y^2 + z^2 = 2(yz + 1)` и `x + y + z = 4018`.
обсуждение

2. Точки `A`, `B`, `C`, `D` и `E` лежат, в этом порядке, на окружности и прямые `AB` и `ED` параллельны. Докажите, что `/_ABC = 90^@` тогда и только тогда, когда `AC^2 = BD^2 + CE^2`.
обсуждение

3. Исаак решал по порядку шесть заданий олимпиады. Каждое задание оценивалось от `0` до `10` баллами. Он никогда не получал за следующее задание больше, чем за любое предыдущее. Сколько разных последовательностей оценок могло получиться?
обсуждение

4. Две окружности разных радиусов с центрами в точках `B` и `C` касаются внешним образом в точке `A`. Общая касательная, не проходящая через `A`, касается первой окружности в точке `D` и второй окружности в точке `E`. Прямая, проходящая через `A` и перпендикулярная `DE`, пересекается с серединным перпендикуляром к `BC` в точке `F`. Докажите, что `BC = 2AF`.
обсуждение

5. Найдите все функции `f`, определенные на множестве действительных чисел и принимающие действительные значения, которые удовлетворяют уравнению `f(x)f(y) = f(x + y) + xy` для всех действительных чисел `x` и `y`.
обсуждение

6. Длинный Джон Силверман похитил карту сокровищ у Адама МакБонес. Адам закопал сокровища в точке `(x, y)` с целыми координатами (не обязательно положительными). Он указал на карте значения `x^2 + y` и `x + y^2` и эти числа различны. Докажите, что есть единственное место, в котором Длинный Джон должен копать для того, чтобы найти сокровища.
обсуждение

Round 2:

1. В математическом лагере `2010^2010` детей. Каждый имеет в лагере не более трех друзей и, если `A` дружит с `B`, то `B` дружит с `A`. Начальник лагеря хочет построить детей в ряд, так чтобы между любой парой друзей стояло не более `2010` детей. Всегда ли это можно сделать?
обсуждение

2. В треугольнике `ABC` точка `G` - пересечения медиан, а точка `D` - середина `CA`. Прямая, проходящая через `G` параллельно `BC`, пересекает `AB` в точке `E`. Докажите, что `/_AEC = /_DGC` тогда и только тогда, когда `/_ACB = 90^@`.
обсуждение

3. Целое число `x` не меньше `3` и пусть `n = x^6 - 1`. Пусть `p` - простое число и `k` - натуральное число, такое что `p^k` является делителем `n`. Покажите, что `p^{3k} < 8n`.
обсуждение

4. Докажите, что для всех положительных действительных чисел `x`, `y` и `z` выполнено неравенство `4(x + y + z)^3 > 27(x^2y + y^2z + z^2x)`.
обсуждение

URL

2014-10-13 в 00:44

wpoms.

Step by step ...

2010/11 British Mathematical Olympiad

Round 1:

1. Из множества целых чисел от `1` до `n` удалено одно число. Среднее арифметическое оставшихся чисел равно `40 3/4`. Какое число было удалено?
обсуждение

2. `s` - целое число большее `6`. В кубе, длина ребра которого равна `s`, сделали квадратное сквозное отверстие с длиной стороны `x < 6` прямо от одной грани куба до другой (отверстие имеет форму прямоугольного параллелепипеда). Объем оставшейся части куба численно равен полной площади поверхности этой оставшейся части куба. Определите все возможные целые значения `x`.
обсуждение

3. Дан треугольник `ABC` с прямым углом `/_CAB`. Точка `L` лежит на прямой `BC` между `B` и `C`. Окружность `ABL` пересекает прямую `AC` в точках `A` и `M`, окружность `CAL` пересекает прямую `AB` в точках `A` и `N`. Докажите, что `L`, `M` и `N` лежат на прямой.
обсуждение

4. У Исаака есть большое количество шашек и он помещает по одной шашке в каждую клетку шахматной доски размером `8 xx 8`. Шашки имеют красный, белый или синий цвет. Назовем размещением конкретное расположение цветных шашек. Определите, каких размещений больше, с четным или нечетным количеством красных шашек.
обсуждение

5. Окружности `S_1` и `S_2` пересекаются в точках `L` и `M`. Точка `P` лежит на окружности `S_2`. Прямые `PL` и `PM` пересекают `S_1` в точках `Q` и `R`, соответственно. Прямые `QM` и `RL` пересекаются в точке `K`. Покажите, что, при перемещении `P` по окружности `S_2`, точка `K` описывает дугу некоторой окружности.
обсуждение

6. Длины сторон треугольника равны `a`, `b` и `c`. Известно, что `ab + bc + ca = 1`. Покажите, что `(a + 1)(b + 1)(c + 1) < 4`.
обсуждение

Round 2:

1. Дан треугольник `ABC` и точка `X` внутри него. Прямые `AX`, `BX` и `CX` пересекают окружность `ABC` в точках `P`, `Q` и `R`, соответственно. Точка `U` выбрана на `XP` и лежит между `X` и `P`. Проведем через точку `U` прямые параллельные `AB` и `CA`, которые пересекают `XQ` и `XR` в точках `V` и `W`, соответственно. Докажите, что точки `R`, `W`, `V` и `Q` лежат на одной окружности.
обсуждение

2. Найдите все натуральные числа `x` и `y` такие, что `2xy` кратно `x + y + 1`, а `x^2 + y^2 - 1` кратно `x + y - 1`.
обсуждение

3. Функция `f`, определенная на множестве натуральных чисел, удовлетворяет условиям: `f(1) = 1`; `f(2n) = f(n)` , если `n` четное; `f(2n) = 2f(n)`, если `n` нечетное; `f(2n + 1) = 2f(n) + 1`, если `n` четное; `f(2n + 1) = f(n)`, если `n` нечетное. Найдите количество натуральных чисел `n`, которые меньше `2011` и для которых `f(n) = f(2011)`.
обсуждение

4. Рассмотрим множество `G`, которое состоит из точек плоскости `(x,y)` с целыми координатами `x` и `y`, удовлетворяющими неравенству `1 <= x,y <= 2011`. Подмножество `S` множества `G` назовем свободным от параллелограммов, если нет невырожденных параллелограммов, все вершины которых принадлежат `S`. Определите наибольший возможный размер свободного от параллелограммов подмножества множества `G`. (Параллелограмм является невырожденным, если его вершины не лежат на одной прямой)
обсуждение

URL

2015-03-21 в 00:12

wpoms.

Step by step ...

2011/12 British Mathematical Olympiad

Round 1:

1. Найдите все (положительные или отрицательные) целые числа `n`, для которых `n^2 + 20n + 11` является полным квадратом. Помните, что вы должны обосновать, что найдены все возможные числа.
обсуждение

2. Рассмотрим числа `1, 2, ..., n`. Найдите, как зависимость от `n`, наибольшее целое число `t`, для которого эти числа могут быть расставлены в ряд так, чтобы все последовательные элементы ряда отличались по крайней мере на `t`.
обсуждение

3. Дана окружность `S`. Точка `P` лежит вне `S` и прямая, проходящая через `P`, пересекает `S` в различных точках `X` и `Y`. Окружности `S_1` и `S_2`, проходящие через `P`, касаются `S` в точках `X` и `Y`, соответственно. Докажите, что разность радиусов `S_1` и `S_2` не зависит от положения точек `P`, `X` и `Y`.
обсуждение

4. В одной сумке лежит `m` шариков, в другой их `n` (`m, n > 0`). Можно выполнять две разные операции:
a) Удалить равное количество шариков из обеих сумок;
b) Удвоить количество шариков в одной из сумок.
Всегда ли возможно опустошить обе сумки с помощью конечной последовательности операций a) и b)?
Операцию b) заменяют на
b') Утроить количество шаров в одной из сумок.
Всегда ли возможно опустошить обе сумки с помощью конечной последовательности операций a) и b')?
обсуждение

5. Докажите, что произведение четырех последовательных натуральных чисел не может быть равно произведению двух последовательных натуральных чисел.
обсуждение

6. Дан остроугольный треугольник `ABC`. Основания высот, проведенных из `A`, `B` и `C`, обозначим как `D`, `E` и `F`, соответственно. Докажите, что `DE + DF <= BC` и определите, для каких треугольников достигается равенство.
обсуждение

Round 2:

1. Диагонали `AC` и `BD` вписанного четырехугольника пересекаются в точке `E`. `P`, `Q`, `R` и `S` являются серединами сторон `AB`, `BC`, `CD` и `DA`, соответственно. Докажите, что радиусы окружностей `EPS` и `EQR` имеют равную длину.
обсуждение

2. Функция `f`, определенная для натуральных чисел, задается соотношениями: `f(1) = 1` и, для `n > 1`, `f(n) = f(lfloor (2n-1)/3 rfloor) + f( lfloor (2n)/3 rfloor)`, где `lfloor x rfloor` обозначает наибольшее целое число меньшее или равное `x`. Верно ли, что `f(n) - f(n - 1) <= n` для всех `n > 1`?
[Несколько примеров использования `lfloor x rfloor` : `lfloor pi rfloor = 3`, `lfloor 1729 rfloor = 1729` и `lfloor 2012/1000 rfloor = 2`.]
обсуждение

3. Множество действительных чисел произвольным образом разделили на два непересекающихся подмножества. Докажите, что для каждой пары натуральных чисел `(m, n)` существуют действительные числа `x < y < z`, принадлежащие одному из подмножеств, для которых `m*(z-y) = n*(y-x)`.
обсуждение

4. Покажите, что существует натуральное число `k` с таким свойством: если `a`, `b`, `c`, `d`, `e` и `f` - целые числа и `m` является делителем `a^n + b^n + c^n - d^n - e^n - f^n` для всех целых чисел `n` в диапазоне `1 <= n <= k`, то `m` является делителем `a^n + b^n + c^n - d^n - e^n - f^n` для всех натуральных чисел `n`.
обсуждение

URL

2015-09-09 в 22:22

wpoms.

Step by step ...

2012/13 British Mathematical Olympiad

Round 1:

1. Исаак разместил несколько шашек в квадратах доски размером 8 на 8, не более одной в каждый квадрат. Определите, с обоснованием, какое наибольшее количество шашек мог он разместить, если в каждом ряду, каждой колонке, на каждой большой диагонали находилось менее пяти шашек.
обсуждение

2. Окружности `S` и `T` касаются в точке `X`. Их общая касательная касается `S` в `A` и `T` в `B`. Точки `A` и `B` различны. Пусть `AP` является диаметром `S`. Докажите, что `B`, `X` и `P` лежат на одной прямой.
обсуждение

3. Найдите все действительные числа `x`, `y` и `z`, которые одновременно удовлетворяют уравнениям `x^2 - 4y + 7 = 0`, `y^2 - 6z + 14 = 0` и `z^2 - 2x - 7 = 0`.
обсуждение

4. Найдите все натуральные числа `n`, для которых `12n -119` и `75n - 539` являются полными квадратами.
обсуждение

5. Длины сторон треугольника не превышают `2`, `3` и `4`, соответственно. Определите, с доказательством, максимально возможную площадь треугольника.
обсуждение

6. Дан треугольник `ABC`. `S` - окружность, проходящая через `B` и касающаяся `CA` в `A`, `T` - окружность, проходящая через `C` и касающаяся `AB` в `A`. Окружности `S` и `T` пересекаются в `A` и `D`. `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью, проходящей через точки `A`, `B`, `C`. Докажите, что `D` является серединой `AE`.
обсуждения

Round 2:

1. Существует ли бесконечно много пар натуральных чисел `(m,n)`, для которых `n^2 + 1` кратно `m`, а `m^2 + 1`кратно `n`?
обсуждение

2. Точка `P` лежит внутри треугольника `ABC`, при этом `/_ABP = /_PCA`. Точка `Q` такова, что `PBQC` является параллелограммом. Докажите, что `/_QAB = /_CAP`.
обсуждение

3. Рассмотрим множество натуральных чисел, двоичная запись которых содержит точно `2013` цифр, среди которых нулей больше чем единиц. Обозначим через `n` количество таких чисел и через `s` их сумму. Докажите, что если сумму `n + s` записать в двоичной системе счисления, то в ней будет больше нулей чем единиц.
обсуждение

4. Пусть `ABCD` является квадратом и точка `P` лежит на окружности, вписанной в этот квадрат. Определите, возможно ли и нет, чтобы длины всех отрезков `PA`, `PB`, `PC`, `PD` и `AB` были целыми.
обсуждение

URL

2016-06-29 в 13:24

wpoms.

Step by step ...

2013/14 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. Вычислите значение `{2014^4 + 4*2013^4}/{2013^2 + 4027^2} - {2012^4 + 4*2013^4}/{2013^2 + 4025^2}`.
обсуждение

2. В остроугольном треугольнике `ABC` точка `E` является основанием перпендикуляра опущенного из вершины `B` на `AC`. Пусть `l` - касательная к окружности, описанной около треугольника `ABC`, проведённая в точке `B`. Точка `F` - основание перпендикуляра опущенного из точки `C` на `l`. Докажите, что прямая `EF` параллельна прямой `AB`.
обсуждение

3. Число `A` в десятичной системе записывается `3^{2013}` цифрами `3`. Другие цифры в десятичной записи числа `A` не используются. Найдите самое большое натуральное число `n` такое, что `3^n` делит число `A`.
обсуждение

4. Исаак планирует девятидневные каникулы. Каждый день он собирается либо заниматься серфингом, либо кататься на водных лыжах, либо просто отдыхать. При этом в каждый из дней Исаак планирует заниматься чем-то одним. Он не планирует заниматься водными видами спорта два дня подряд. Какое количество расписаний каникул может составить Исаак?
обсуждение

5. Из внутренней точки `P` равностороннего треугольника `ABC` на стороны `BC`,`CA` и `AB` опустили перпендикуляры `PD`, `PE` и `PF` соответственно. Докажите что
a) `AF + BD + CE = AE + BF + CD` и
b) `[APF] + [BPD] + [CPE] = [APE] + [BPF] + [CPD]`.
`[XYZ]` обозначает площадь треугольника `XYZ`.
обсуждение

6. Углы треугольника `A`, `B` и `C` измеряются в градусах, а длины противоположных сторон обозначены `a`, `b` и `c` соответственно. Докажите что `60 <= {a*A + b*B + c*C}/{a + b + c} < 90`.
обсуждение

Round 2

1. Каждая диагональ правильного `2014`-тиугольника окрашена в один из `n` цветов. Любые две диагонали, пересекающиеся внутри многоугольника, окрашены в разные цвета. При каком минимальном значении `n` это возможно?
обсуждение

2. Докажите, что не существует прямоугольный параллелепипед, у которого объем, площадь поверхности и периметр численно равна.
Периметр прямоугольного параллелепипеда равен сумме длин всех двенадцати ребер.
обсуждение

3. Пусть `a_0 = 4`, а последующие члены последовательности вычисляются по формуле `a_n = a_{n - 1}^2 - a_{n - 1}` для всех натуральных чисел `n`.
а) Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, которые являются делителем хотя бы одного члена последовательности;
б) Существует ли бесконечно много простых чисел, которые не являются делителем ни одного члена последовательности?
обсуждение

4. Пусть `P` - внутренняя точка треугольника `ABC`. Точка `A'` - отличная от `A` точка пересечения прямой `AP` с описанной около треугольника `ABC` окружностью. Аналогичным образом определяются точки `B'` и `C'`. Пусть точки `O_A`, `O_B` и `O_C` - центры окружностей, описанных около треугольников `BCP`, `ACP` и `ABP` соответственно, а точки `O_{A'}`, `O_{B'}` и `O_{C'}` - центры окружностей, описанных около треугольников `B'C'P`, `A'C'P` и `A'B'P` соответственно. Докажите, что прямые `O_{A}O_{A'}`, `O_{B}O_{B'}` и `O_{C}O_{C'}` пересекаются в одной точке.
обсуждение

URL

2017-01-21 в 22:00

wpoms.

Step by step ...

2014/15 British Mathematical Olympiad

Round 1:

1. Расположите следующие числа в порядке возрастания и обоснуйте ваши рассуждения: `3^{3^4}, \ 3^{4^3}, \ 3^{4^4}, \ 4^{3^3}` и `4^{3^4}`. Отметим, что `a^{b^c}` означает `a^{(b^c)}`.
обсуждение

2. Положительные целые числа `p`, `a` и `b` удовлетворяют уравнению `p^2 + a^2 = b^2`. Докажите, что если `p` является простым и `p > 3`, то `a` кратно` 12` и `2*(p + a + 1)` является полным квадратом.
обсуждение

3. В гостинице имеется десять номеров вдоль каждой стороны коридора. Капитан олимпийской команды хочет забронировать семь комнат так, что никакие два зарезервированные номера на одной стороне коридора не были смежными. Сколькими способами это можно сделать?
обсуждение

4. Пусть `x` - вещественное число такое, что `t = x + x^{-1}` - целое, большее `2`, число. Докажите, что `t_n = x^n + x^{-n}` является целым числом для всех положительных целых чисел `n`. Определите значения `n`, для которых `t` делит `t_n`.
обсуждение

5. Пусть `ABCD` - вписанный в окружность четырехугольник. `F` - середина дуги `AB` окружности, описанной около четырёхугольника, которая не содержит `C` или `D`. Прямые `DF` и `AC` пересекаются в точке `P`, а прямые `CF` и `BD` пересекаются в точке `Q`. Докажите, что прямые `PQ` и `AB` параллельны.
обсуждение

6. Найдите все функции `f(n): NN -> NN`, удовлетворяющие следующему условию: для любых натуральных чисел `a`, `b` и `c` таких, что `1/a + 1/b = 1/c`, выполняется равенство `1/{f(a)} + 1/{f(b)} = 1/{f(c)}`.
обсуждение

Round 2:

1. Первый член последовательности `x_1` равен `2014`. Каждый последующий член последовательности определяется рекуррентной формулой `x_{n + 1} = {(sqrt{2} + 1)*x_n - 1}/{(sqrt{2} + 1) + x_n}`.
Найти 2015-й член последовательности `x_{2015}`.
обсуждение

2. В Нечётненской начальной школе нечетное число классов. Каждый класс содержит нечетное число учеников. Один ученик из каждого класса будет выбран для формирования школьного совета. Докажите, что следующие два утверждения логически эквивалентны.
а) Способов сформировать школьный совет, который включает в себя нечетное число мальчиков больше, чем способов формирования школьного совета, который включает в себя нечетное число девочек.
б) Имеется нечетное число классов, в которых мальчиков больше, чем девочек.
обсуждение

3. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке `A`. Докажите, что геометрическим местом центров окружностей, вписанных в треугольник `AQP`, является окружность, касающаяся данных окружностей в точке `A`, если точки `P` и `Q` выбираются на внешней окружности так, что хорда `PQ` является касательной внутренней окружности.
обсуждение

4. Для двух точек `P` и `Q` с целыми координатами, мы говорим, что `P` видит `Q` если отрезок `PQ` не содержит никаких других точек с целыми координатами. `n`-цикл представляет собой последовательность `n` точек с целыми координатами `P_1, \ P_2, \ ..., \ P_n`, для которых выполнены следующие условия:
а) `P_i` видит `P_{i + 1}` для `1 <= i <= n - 1` и `P_n` видит `P_1`;
б) `P_i` не видит `P_j`, если не выполняется условие пункта а;
в) никакие три точки не лежат на одной прямой.
Существует ли `100`-цикл?
обсуждение

URL


Запомнить