Задачи на экстремум

[wpoms.]

1) Найдите наибольшее значение выражения `x^2*y - y^2*x` если `0 <= x <= 1` и `0 <= y <= 1`. 2) Найдите наибольшее значение выражения `x^2*y + y^2*z + z^2*x - x^2*z - y^2*x - z^2*y` если `0 <= x <= 1`, `0 <= y <= 1`, `0 <= z <= 1`.

@темы: Задачи на экстремум, Математический анализ, Функции нескольких переменных

Comments

[~ghost]

Всем доброго времени)
Здесь вроде все нормально считается - "стандартным методом"..
Находим стационарные точки -решаем систему `{( (partial f)/(partial x) = 0), ( (partial f)/(partial y) =0 ):}` (во 2-ой задаче там еще и `(partial f)/(partial z) = 0`); можно даже не проверять, будет ли там экстремум (все равно кроме этих точек не будет нигде..); считаем значение в стационарной точке (точках), и потом - отдельно проверяем всё для границ области..
В 1-ом (если сейчас нигде не ошиблась) - стационарная точка только `(0;0)`, и `f(0;0) = 0`, и на отрезках, лежащих на осях ( `y = 0` и `x in[0;1]` или `x=0` и `y in [0;1]`) - тоже везде `f(x;y) =0`; остаются только отрезки `x = 1` и `y in [0;1]` или `y=1` и `x in [0;1]` (на одном из них есть точка максимума - и там же наибольшее значение ф-ии в данной области).
Во 2-ом - система чуть хуже, но тоже все неплохо.. А на "границах области" - на гранях куба - в трех случаях « получаем задачу, которую уже умеем решать » =) - получаем функцию такого же вида, как и в 1-ой задаче. Останутся еще 3 грани.. (`x =1`, или `y=1`, или `z=1`) - тоже можно рассмотреть.. (не считала =))

Хотя, может, можно и как-то "красивее" выкрутиться.. (в 1-ой и так легко, а во 2-ой.. не знаю))

[All_ex]

~ghost, оно, конечно, так... но задача из школьной олимпиады... а далеко не все школьники знают о частных производных...

[~ghost]

Упс.. =)) а где сказано, что из школьной олимпиады ? ))

[Ak-sakal]

В перовм случае можно и на уровне 9 класса:
`x^2*y-y^2*x=a` При каких значениях параметров `a` и `y` `0≤y≤1` уравнение имеет хотя бы один корень, удовлетворяющий условию `0≤x≤1` ? Кажется, получается `a=0,25` при `y=0,5` и `x=1`.

[All_ex]

уравнение имеет хотя бы один корень, удовлетворяющий условию `0 <= x <= 1` - Можно просто говорить про максимум на отрезке... там получаем либо вершину, либо границу...
Для трёх переменных тоже проходит, но писать до конца стало лень (даже на листочке)...

[Ak-sakal]

Для трёх переменных тоже проходит

Там есть ещё разложение `-(x-y)*(y-z)*(z-x)`, которое при замене `y-z=t` , `x-z=q` даёт первый случай, но уже с границами `[-1;1]`. Расписывать, разумеется тоже лень.

[Ak-sakal]

"Хорошую" тригонометрическую подстановку я как следует не искал, но, вполне вероятно, она там есть. Уж больно интервал для переменных "симптоматичен".