EDUCATION EXPANDS KNOWLEDGE

МЫ НЕ РЕШАЕМ ЗА ВАС - МЫ ПОМОГАЕМ РЕШАТЬ!


| ЦЕЛИ СООБЩЕСТВА | АДМИНИСТРАЦИЯ СООБЩЕСТВА | МОДЕРАТОРЫ СООБЩЕСТВА |
Основала сообщество и бессменно руководила им с 2006 по 2012 г. рано ушедшая из жизни Robot, вложившая в него свои силы, знания, опыт, доброту и стремление к бескорыстной помощи.
ПРАВИЛА СООБЩЕСТВА
|НЕКОТОРЫЕ СОВЕТЫ ПО ОФОРМЛЕНИЮ|КАК ПРАВИЛЬНО ЗАПОЛНИТЬ @ТЕМУ|


Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду,
а если хотите научиться решать задачи — решайте их (Д. Пойа).

Научился сам - не мешай научиться другому.
URL
  • ↓
  • ↑
  • ⇑
 
22:15 

Amicus Plato
Простыми словами
Благодаря kostyaknop у нас появилась вот такая замечательная книжка!

С. Л. Табачников, Д. Б. Фукс. Математический дивертисмент. М: Издательство МЦНМО, 2011. 512 c.
Предлагаемая книга содержит тридцать лекций, посвященных разнообразным сюжетам из алгебры, комбинаторики, геометрии и топологии, как классическим, так и современным. Лекции независимы друг от друга, и их можно читать в любом порядке. Немногочисленные взаимные ссылки призваны лишь продемонстрировать связь между разными сюжетами. Объем предполагаемых знаний варьируется от лекции к лекции, но никогда существенно не выходит за рамки школьного курса. Значительная часть обсуждаемого материала не содержится в стандартных учебниках, но тем не менее входит в минимум знаний, необходимых каждому математику. Почти каждая лекция содержит математические сюрпризы даже для опытных исследователей. Почти все лекции содержат задачи; решения части задач приведены в конце книги. Выбранные для изложения темы объединяет математическая красота и изящество: единство математики - лейтмотив книги.
Книга богато иллюстрирована: в ней более 400 рисунков, около 40 иллюстраций и 90 портретов математиков, о результатах о которых идет речь.
Скачать (djvu, 8 Мб) yadi.sk


@темы: Литература

20:28 

Делимость числа

Добрый вечер!

Есть задача: доказать, что произведение трёх последовательных натуральных чисел, среднее из которых является кубом натурального числа, делится на `504`.

Идей как-то совсем нет, разве что само условие переписал как: `(b^3-1)*b^3*(b^3+1)`. Ну и `504` это`2*2*2*3*3*7`.
Но вот что делать дальше? Использовать какие-нибудь теоремы о НОД? Или может у кубов есть какие-то особенные свойства делимости?

Помогите, пожалуйста.

@темы: Теория чисел

01:13 

Десерт

wpoms.
Step by step ...


Ежедневно более чем половина жителей города Эвора ест на десерт sericaia. Покажите, что есть группа из 10 эворийцев, таких что за последние 2010 дней каждый день по крайней мере один из них ел на десерт sericaia.

Sericá (или Sericaia) является традиционным португальским десертом из яиц, сахара, молока и корицы. Обычно подается с сахарными сливами.




@темы: Дискретная математика

16:44 

Изобразить множество точек на комплексной плоскости

Здравствуйте!
Задание такое - изобразите на комплексной плоскости множество точек вида `2z+z^4`, где `z` пробегает единичную окружность с центром в 0.
Мои мысли: пусть `z = cos(phi) + isin(phi)`.
Тогда `2z+z^4 = (2cos(phi) + cos(4*phi)) + i(2sin(phi) + sin(4phi))`
Значит `Re(2z+z^4) = 2cos(phi) + cos(4*phi)`, а `Im(2z+z^4)= 2sin(phi) + sin(4phi)`
Но как построить это на комплексной плоскости?
Вольфрам выдает красивую картинку, но не понимаю, как это сделать полностью вручную? Спасибо

@темы: Комплексные числа

22:18 

На окружности

wpoms.
Step by step ...


Точки окружности `A` и `B` принадлежат разным дугам, на которые окружность разбивается концами диаметра `CD`. Отрезки `EC` и `DF` перпендикулярны отрезку `AB`. Найдите `BF`, если `AE = 1` см.





@темы: Планиметрия

20:16 

Сгорая плачут свечи

wpoms.
Step by step ...


В часовне На костях (Capela dos Ossos) было несколько свечей одинакового размера. В первый день зажгли на один час одну свечу. На второй день на один час зажгли две свечи, на третий день зажгли три свечи на один час, и так далее, до последнего дня, в который зажгли все свечи на один час. В конце концов, все свечи полностью сгорели. Определите все возможности для исходного числа свечей.




@темы: Комбинаторика

13:09 

Найти сумму

Здравствуйте!
1 курс, указание - использовать комплексные числа

Найти `S = sin(x) + 2*sin(2*x) + 2*sin(2*x) +ldots + n*sin(n*x)`

До чего дошел - прикреплено в изображении, но как найти мнимую часть А не знаю.
Пожалуйста, подскажите, что делать дальше, а может - как стоило решать задачу более рационально.
Спасибо
читать дальше

@темы: Тригонометрия, Комплексные числа

23:17 

Интеграл

Помогите, пожалуйста, с интегралом:
интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности от выражения `int_(-oo)^oo [2*(1+x^2)*(4+y^2)/pi^2]dy=2*(1+x^2)*(4*y+y^3/3)`, где y равен соотв-но плюс и минус бесконечности. В итоге получается произведение числа на бесконечность... А нужно число... Что можно сделать? Заранее спасибо.

@темы: Интегралы

21:54 

Ищу задания

Никак не могу найти задания студенческой математической олимпиады МФТИ за последние три года, их и ищу.

@темы: Литература

12:23 

Исследовать ряд на сходимость

Доброго дня!
Необходимо исследовать на сходимость следующий ряд
`sum_(n=1)^(infty) ( (-1)^n/sqrt(n) * arctg (1/(2n+3)) )`
Я поискала в интернете и увидела, что примеры такого типа обычно решаются при помощи признака Лейбница, однако мы еще этой темы не проходили и решать нужно другим способом.
Я пробовала использовать признаки сравнения и приводить данный ряд к более простому (я не уверена в этих манипуляциях):
arctg (1/(2n+3)) ~ 1/(2n+3); 1/(2n+3) ~ 1/(2n)
Откуда в конечном счете имела ряд
`sum_(n=1)^(infty) ( (-1)^n/sqrt(n) * 1/(2n) ) = sum_(n=1)^(infty) ( 1/2 *( (-1)^n/sqrt(n)* 1/n) ) = sum_(n=1)^(infty) ( 1/2 * ( (-1)^n/ n^(3/2) ) )`
Но вот дальше опять вопрос, я могу сравнить полученный интеграл с интегралом `sum_(n=1)^(infty) ( 1/ n^(3/2) )` и далее опять же применять признак сравнения? Я просто не знаю, что делать с (-1)^n :(
Прошу помощи!
читать дальше

@темы: Ряды

18:19 

Функции в треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Пусть `S` - множество точек лежащих внутри данного равностороннего треугольника `ABC` с длиной стороны `1` или на его границах. Для любой точки `M in S, \ a_M, \ b_M, \ c_M` обозначают расстояния от `M` до `BC, \ CA, \ AB` соответственно. Определим
`f(M) = a_M^3 (b_M - c_M) + b_M^3(c_M - a_M) + c_M^3(a_M - b_M)`.
(a) Опишите множество `{M \in S | f(M) \geq 0 }` геометрически.
(b) Найдите наименьшее и наибольшее значение `f(M)` и точки в которых они достигаются.



@темы: Функции, Планиметрия

15:12 

Двойной интеграл

Пушистохвост
А мы тут того... Этого...
Здравствуйте. Помоги, пожалуйста, разобраться.



Имеется двойной интеграл:

 

`\int_{1}^{5}dx\int_{((x-1)^2)/8}^{(x-1)/2}dy`

 

Когда я решила его, то получился ответ `4/3`

 

Потом я провела изменение порядка интегрирования, и у меня получился вот такой интеграл:

 

`\int_{0}^{2}dy\int_{(sqrt(8y)+1)}^{(2y)+1}dx`

 

Когда я решила уже этот интеграл, то у меня получился ответ `-4/3`.

 

В вычислениях ошибки быть не может, пересчитывала собственноручно несколько раз и загоняла в разные онлайн-программы. Значит, ошибка где-то в изменении порядка? Но область интегрирования я находила, точки пересечения первой параболы и прямой - (1;0) и (5;2). Неправильно выражала х в определении пределов для внутреннего интеграла? Перепроверила уже кучу раз, ошибку найти не могу.


@темы: Кратные и криволинейные интегралы, Интегралы

18:06 

Вопрос по теории вероятности

v-sofie
Добрый вечер!

Простой вопрос, по идеи, но голову сломала. Известно, что x1 и x2 совместно нормально распределены (известно среднее, дисперсия и коэфф. корреляции) и нас интересуют только те пары, у которых Р(х1,х2)>0.95. Известно, что х1 и х2 связаны формулой линейной регрессии: A + bx1 + cx2. Надо найти const, больше которой линейная регрессия. P(A + bx1 + cx2> const).

Как это сделать?

@темы: Теория вероятностей

21:56 

Перестановка предельных переходов

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Опять доказательство теоремы, в котором хотелось бы разобраться. (Фихтенгольц, том 2, гл. 14, параграф 1, пункт 505)
Пусть существует по отдельности пределы
`lim_{y->y_0} f(x, y) = phi(x)`
`lim_{x->x_0} f(x, y) = psi(y)`
Если стремление `f(x, y)` к `phi(x)` равномерное, то существуют и равны повторные пределы
`lim_{x->x_0} lim_{y->y_0} f(x, y) = lim_{y->y_0} lim_{x->x_0} f(x, y)` (1)
Доказательство начинается с условия равномерного стремления `f(x, y)` к своей предельной функции
`\forall epsilon > 0` `\exists delta > 0:` `|y - y_0|,` `|y' - y_0| < delta => |f(x, y') - f(x, y)| < epsilon`
Переходя к пределу в последнем неравенстве, при `x -> x_0`
(вот здесь первый вопрос. Зачем это делается? Я думаю потому что в левой части равенства (1) `x` при внешнем пределе стремится к `x_0`)
получаем
`|psi(y') - psi(y)| <= epsilon` (почему знак неравенства не строгий?)
Здесь выполнено условие Больцано - Коши для `psi(y)` => `lim_{y -> y_0} psi(y) = A`.
(верно ли я понимаю, что мы, используя внешний предел в левой части равенства (1), получили то, что в правой части этого равенства стоит число?)
Ясно теперь, что `|y - y_0| < delta => ` `|phi(x) - f(x, y)| <= epsilon` и `|psi(y) - A| <= epsilon` (опять почему то не строгие знаки)
Сохраняя выбранное значение `y` найдем такое `delta' > 0:` `|x - x_0| < delta' =>` `|f(x, y) - psi(y)| < epsilon` (это просто использование определение предела?)
Из всех выше указанных неравенств следует, что
`|phi(x) - A| < 3*epsilon`
Ну это более менее понятно. Только, если честно, на какой-то подгон немного похоже. Очень удобная расстановка всех функций в модулях, хотя, безусловно, под модулем эти разности функций можно как угодно писать.
Из последнего неравенства следует
`lim_{x -> x_0} phi(x) = A`
Что и требовалось доказать.
Можете ли сказать, верно ли я все понимаю? Ну хотя бы без знаков неравенства

@темы: Математический анализ

20:57 

Многочлены Лежандра

IWannaBeTheVeryBest
В теме "Ортогональные системы функций" (Фихтенгольц Т3, Гл. 19, параграф 1, п. 679, пример 5) указаны многочлены Лежандра в качестве ортогональной системы функций.
Приведен интеграл
`int_{-1}^{1} P^2(x) dx = 2/(2n + 1)`
`P_0(x) = 1`
`P_n(x) = 1/((2n)!!) * (d^n(x^2 - 1)^n)/(dx^n)`
Решил я разобраться с этим интегралом. Фихтенгольц меня отправляет -> Т2, гл. 9, параграф 4, п. 320, стр. 150.
Исключаем временно константу `1/(((2n)!!)^2)`
Рассмотрим интеграл
`int_{-1}^{1} (d^n(x^2 - 1)^n)/(dx^n) * (d^n(x^2 - 1)^n)/(dx^n) dx`
Интегрируем по частям
Берем первую дробь за `u` другую за `dv`. Части `uv` при подстановке пределов интегрирования будут обнуляться. При `int_{-1}^{1} vdu` будет вылезать минус.
Проделав эту операцию `n` раз, мы получаем интеграл
`(-1)^n * int_{-1}^{1} (d^(2n)(x^2 - 1)^n)/(dx^(2n)) * (x^2 - 1)^n dx = 2 * (2n)! * int_{0}^{1} (1 - x^2)^n dx`
Здесь мне понятно все, кроме одного. Как доказать такое равенство
`(d^(2n)(x^2 - 1)^n)/(dx^(2n)) = (2n)!`
Дальнейшие выкладки мне понятны. Даже дословно разобрал `int_{0}^{1} (1 - x^2)^n dx` при `x = sint`. Тут все ясно. Вот помогите только доказать это равенство. На него ссылок вроде Фихтенгольц не оставил(( Проще конечно на веру принять. Но если разбираться, то уж до конца. А то так просто не интересно))

@темы: Математический анализ

14:31 

ковер

вейко
что толку горевать?
15:06 

Геометрия

читать дальше

DABC правильная пирамида. Треугольник ABC основание пирамиды. DO=8 м
DO перпендикулярно ABC. T - середина DC.
Satb=15*sqrt 3/2
Найдите сторону основания пирамиды.

@темы: ЕГЭ

18:41 

polinapolin
Добрый вечер!

Помогите, пожалуйста, со следующей задачей:
Рост 5000 студентов распределен нормально со средним 175 см и стандартным отклонением 8 см. Если выбрать 80 выборок по 25 студентов в каждой, какими будут среднее и стандартное отклонение средних, если выборки делаются
а) с возвращением
б) без возвращения

Не очень понимаю, что делать. Разве должны средние для выборок отличаться от генеральной совокупности?
И как тут влияет возвращение?

Заранее спасибо!

@темы: Математическая статистика

08:35 

Число в степени

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что существует положительное целое `N` такое, что десятичное представление числа `2000^N` начинается с `200120012001`.



@темы: Теория чисел

21:24 

Ищу книгу по теории матриц

Ищу книгу по теории матриц. Что-то наподобие Фихтенгольца, по объёму, глубине и понятности изложения.

@темы: Поиск книг

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная