09:18 

wpoms
Step by step ...
Две окружности касаются внутренним образом в точке M. Прямая касается внутренней окружности в точке P и пересекает внешнюю окружность в точках Q и R. Докажите равенство углов QMP и RMP.



@темы: Планиметрия

Комментарии
2012-12-05 в 09:44 

Белый и пушистый (иногда)
Эта задача неоднократно обсуждалась в сообществе. Но доказательство не самое простое.

2012-12-05 в 14:27 

Рассмотрите гомотетию с центром в точке `M` при которой меньшая окружность переходит в большую. Тогда касательная к меньшей окружности перейдёт в параллельную ей касательную к большей окружности. Далее воспользуйтесь тем, что дуги окружности, заключённые между параллельными прямыми и равны и тем, что вписанные углы, опирающиеся на равные дуги равны.

URL
2012-12-05 в 18:17 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Гость, красиво...

2012-12-06 в 01:56 

.. и все-таки я наглая =)
Для тех, кто "не увидит" гомотетии ( а школьники могут "не увидеть" =( ) - можно и так:
читать дальше

В общем-то, да, тоже вышли на параллельные прямые и на равные дуги и равные углы.. Хотя мне и самой с гомотетией нравится больше =))
Гость :red: (и извините — что влезла еще и со своим решением..)

2012-12-06 в 03:06 

~ghost, не стоит извиняться! Очень интересно! Спасибо решение!

URL
2012-12-07 в 11:17 

Alidoro
Вот здесь обсуждалось
eek.diary.ru/p106575773.htm&from=0#382044722

2012-12-07 в 11:27 

Alidoro, спасибо!
с условием "доказать подобие треугольников.." — звучит сразу на порядок сложнее (чем если "доказать, что `MP` - биссектриса "), хотя все то же самое..

2012-12-08 в 18:05 

А кто-нибудь раньше уже отмечал, что если сделать инверсию с центром М (две окружности перейдут в прямые, а прямая QR - в окружность, описанную вокруг треугольника Q'P'R' и касающуюся одной из двух этих прямых), то задача становится тривиальной? Инверсия, как известно, сохраняет углы между прямыми, а также между прямыми и окружностями.

2012-12-09 в 03:45 

Любопытно, спасибо

URL
2015-06-03 в 14:20 

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!

URL
2015-06-03 в 14:21 

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!

URL
   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная