Планиметрия

[wpoms.]

Стороны `a, b, c` и `u, v, w` двух треугольников `ABC` и `UVW` связаны соотношениями `u(v + w - u) = a^2`, `v(w + u - v) = b^2`, `w(u + v - w) = c^2`. Докажите, что треугольник `ABC` является остроугольным и выразите величины углов `U, V, W` через величины углов `A, B, C`.

@темы: Планиметрия

Comments

[~ghost]

Доброго времени всем) Кажется, задание просто на теорему косинусов (и на теорему синусов). Доказать, что углы в ABC -острые, -легко. "В лоб" по теореме косинусов: 2bc*cos(alpha)= b^2 +c^2 - a^2, т.е. подставив выражения: 2bc*cos(alpha)=2vw -v^2 -w^2 +u^2, т.е. "увидев" справа "формулы" (сокращенного умножения), получим справа произведение двух скобок, о каждой из которых можно будет сказать, что она положительна (учитывая, что числа u, v, w являются сторонами треугольника). А вот выразить углы треуг-ка ABC через углы UUW, - это как-то "похуже" (больше выкладок) - но все равно нужна кроме теоремы косинусов еще только теорема синусов (и преобразования.. и вроде ничего больше..)

[~ghost]

Попробовала выразить cos(alpha) {начиная с того, что cos(alpha)=(b^2 + c^2 - a^2)/(2bc), и в упор подставляя выражения...} Получилось что-то вроде: cos(alpha)=(1/2)*sqrt ( (sin U - sin V)/(sin W) + 1 )*sqrt ( (sin U - sin W)/(sin V) + 1 ). Хотя очень может быть, что где-то сейчас "наврала"..=) И, может,- если не "наврано" - это даже еще как-то преобразовывается.. (?)

[~ghost]

Ой-ой.. Прошу прощения за предыдущий комментарий- я не внимательно прочитала, что через что должно быть выражено.. (должны быть наоборот U, V, W, через A, В, C ). Коммент убирать уже не буду)) пусть остается и такой.. А как выразить те углы -еще посмотрю ))