Углы

[wpoms.]

В треугольнике `ABC` точка `G` - пересечения медиан, а точка `D` - середина `CA`. Прямая, проходящая через `G` параллельно `BC`, пересекает `AB` в точке `E`. Докажите, что `/_AEC = /_DGC` тогда и только тогда, когда `/_ACB = 90^@`.

@темы: Планиметрия

Comments

[~ghost]

Всем доброго времени )
Вроде не сложно.. мне было немного некогда - и немного лень.. и всем, наверное, тоже лето продолжается ))

ЕСЛИ треуг-к ABC - прямоугольный, и угол `C = 90^0`, ТО: доказываем, что треугольник `CDG` подобен треуг-ку `ACE` "по двум парам сторон и углу между ними" - а если треугольники подобны, то и все соответствующие углы в них - равны.
( если треуг-к `ABC` - прямоугольный с прямым углом `C`, то `/_ ACG = /_CAB = alpha`, и можно показать, что пары сторон, образующие этот угол `alpha`, отличаются в 2 раза )

В другую сторону как-то чуть хуже.. хотя.. ))
ЕСЛИ знаем, что `GE` || `BC` и `/_AEC = /_DGC` ( т.е. и `/_CEB = /_CGB` ), ТО: можно доказать, что угол `/_MCB = /_MBC` ( т.е. `CM = MB = 1/2*AB` - и медиана равна половине стороны, к которой она проведена, - только в прямоугольном треугольнике )
( т.к. `/_CEB = /_CGB`, то точки `C`, `G`, `E` и `B` принадлежат одной окружности.. и можно находить еще равные углы - пока не получим, что `/_CBE = /_BCG` )

[All_ex]

~ghost,