Последовательность

[wpoms.]

Любое натуральное число `m` может быть единственным образом записано в системе счисления с основанием `3` в виде строки из нулей, единиц и двоек (не начинаясь с нуля). Например, `98 = (1*81) + (0*27) + (1*9) + (2*3) + (2*1) = (10122)_3`. Пусть `c(m)` обозначает сумму кубов цифр в записи числа `m` в позиционной системе с основанием 3; так, например, `c(98) = 1^3 + 0^3 + 1^3 + 2^3 + 2^3 = 18`. Пусть `n` - некоторое фиксированное натуральное число. Определим последовательность `(u_r)` соотношениями `u_1 = n` и `u_r = c(u_{r-1})` для `r >= 2`. Покажите, что существует натуральное число `r`, для которого `u_r = 1`, `2` или `17`.

@темы: Теория чисел

Comments

[Adjirranirr]

Так как `AA m \in [18;\ +oo) \cap NN:\ c(m) < m`, а `AA m \in [1;\ 17] \cap NN:\ c(m) \in A = {1,\ 2,\ 3,\ 8,\ 9,\ 10,\ 16,\ 17}`, то, начиная с некоторого номера `k`, все значения последовательности лежат в `A` (это следует из того, что не существует бесконечно убывающей последовательности натуральных чисел). Но ` c(c(c(8))) = c(c(16)) = c(10) = 2,\ c(9) = c(3) = 1`, а значит, среди номеров `k,\ k+1,\ k+2,\ k+3` существует номер `r`, такой, что `u_r \in {1,\ 2,\ 17}`.