Уравнение с параметром

[wpoms.]

Найдите положительную константу `c` для которой уравнение `xy^2 - y^2 - x + y = c` имеет ровно три решения `(x, y)` в натуральных числах.

@темы: Задачи с параметром, Рациональные уравнения (неравенства)

Comments

[Adjirranirr]

Примерный список

Примерный список:
10; 18; 28; 34; 40; 52; 58; 70; 76; 82; 88; 100; 106; 108; 124; 133; 138; 145; 148; 168; 172; 178; 180; 198; 202; 208; 220; 226; 238; 244; 258; 259; 268; 274; 292; 298; 304; 306; 316; 328; 346; 348; 355; 364; 385; 388; 390; 394; 403; 408; 412; 436; 438; 442; 448; 466; 484; 498; 504; 508; 511; 514; 530; 532; 538; 550; 556; 562; 565; 568; 574; 580; 583; 586; 592; 603; 604; 618; 628; 634; 637; 652; 658; 663; 670; 676; 678; 682; 706; 724; 726; 748; 763; 772; 775; 778; 793; 796; 802; 808; 817; 820; 844; 858; 874; 888; 889; 892; 898; 900; 910; 916; 918; 922; 928; 940; 946; 952; 964; 978; 985; 986; 994;
подходящих `c < 1000` наводит на мысль, что ничего путного эта задача не предвещает. Какой-либо закономерности не видно =)

Перебор до `c <= dim` (без оптимизации кода, VS C++ 2010, /O2):

#include <stdio.h>

#define dim 131072

int func (int x, int y) {
	return (y - 1) * (x - y + x * y);
}

void main () {
	FILE *f1, *f2, *f3;
	fopen_s (&f1, "out1.txt", "w"); //Решения уравнения f(x, y) = c
	fopen_s (&f2, "out2.txt", "w"); //Количество решений для заданного c
	fopen_s (&f3, "out3.txt", "w"); //Список c, для которых решений ровно 3 и их доля
	bool t1, t2;
	int x, y, p, t, r = 1;
	for (int c = 1; c < dim; c++) {
		t = 0;
		fprintf_s (f1, "%d: ", c);
		fprintf_s (f2, "%d: ", c);
		t1 = true;
		x = 1;
		while (t1) {
			p = func (x, 2);
			if (p <= c) {
				t2 = true;
				y = 2;
				while (t2) {
					p = func (x, y);
					if (p > c || p <= 0) t2 = false;
					else if (p == c) {
						fprintf_s (f1, "(%d, %d); ", x, y);
						t++;
						t2 = false;
					}
					y++;
				}			
			}
			else {
				t1 = false;
			}
			x++;
		}
		fprintf_s (f1, "\n");
		fprintf_s (f2, " %c %d\n", 9, t);
		if (t == 3) {
			fprintf_s (f3, "%d; %c %f; %c %f\n", c, 9, ((float)r) / c, 9, ((float)c) / r);
			r++;
		}
	}
	fclose (f3);
	fclose (f2);
	fclose (f1);
}

[_ТошА_]

Хотя бы какую-то ведь нужно найти. 10 вполне можно получить, не перебирая все константы с `1 - 10`
Правда, с общим решением и правда ничего не выходит