Факториал

[wpoms.]

`34! = 295 \ 232 \ 799 \ cd9 \ 604 \ 140 \ 847 \ 618 \ 609 \ 643 \ 5ab \ 000 \ 000`. Найдите цифры `a`, `b`, `c`, `d`.

@темы: Теория чисел

Comments

[Adjirranirr]

Так как `34! = 2^{32} * 3^{15} * 5^{7} * ... * 31`, то `34! \equiv 0 \text{mod}\ 10^7` и последние 7 цифр — нули. Тогда `b = 0`.
Так как число `\frac{34!}{10^7}` делится на `2^{25}`, то оно делится и на `4`, и число, образованное последними двумя цифрами, делится на `4`. Тогда `a = 2` или `a = 6`. Но если `a = 6`, то `\frac{34!}{10^7}` не делится на `8`, так как не делится на `8` число `356`. Таким образом, `a = 2`.

`34! \equiv 0 \text{mod}9` и `34! \equiv 0 \text{mod} 11`. Используя соответствующие признаки делимости, получим
`{(141 + c + d, \equiv_{\text {mod}\ 9}, 0),(19 - c + d, \equiv_{\text {mod}\ 11}, 0):} => {(c + d, \equiv_{\text {mod}\ 9}, 3),(-c + d, \equiv_{\text {mod}\ 11}, 3):}`. Единственное решение этой системы, удовлетворяющее `0<= c,d <= 9` есть `{(c,=,0),(d,=,3):}`.
Таким образом,
`34! = 295\ 232\ 799\ \underline{03}9\ 604\ 140\ 847\ 618\ 609\ 643\ 5\underline{20}\ 000\ 000`.