[wpoms]

Последовательность задана следующим образом: `u_1 = 1`, `u_2 = c`, `u_n = (2n +1) u_{n-1} - (n^2 -1)u_{n-2}` для `n >= 3`. Для каких натуральных значений `c` при всех `i <= j` `u_i` делит `u_j`?

@темы: Теория чисел

Comments

[_ТошА_]

хто такое `a_i, a_j`?

[Гость]

хто такое

`u_i` & `u_j` )

[_ТошА_]

`1; 2; 4` вроде

[Гость]

Для нескольких первых. А что будет дальше?

[_ТошА_]

Дальше точно ничего, потому что всего претендентов - 4: `1; 2; 4; 8`

[Гость]

Дальше точно ничего

Речь идет не о кандидатах, а о делимости при любых n `(n^2 -1)u_{n-2}` на `u_{n-1}`

[_ТошА_]

Вот в том то и дело. И такое осуществляется только при `c`, которых я написал выше. Далее они откидываться начинают

[Гость]

У меня единица не удовлетворяет этому критерию. Мог ошибиться в расчетах. Проверю еще раз

[Гость]

1, 1, -1, -24, -240, -2280, -22680

22680/2280 = 189/19

Осталось подтвердить/опровергнуть гипотезу для двойки и четверки.

[All_ex]

Перепишем равенство в виде `{u_n}/{u_(n-1)}*{u_(n-1)}/{u_(n-2)} = (2n+1)*{u_(n-1)}/{u_(n-2)} - (n^2-1)`и обозначим `A_n = {u_n}/{u_(n-1)}`...Тогда `A_2 = c \ \ and \ \ A_n = (2n+1) - {n^2-1}/{A_(n-1)} \ n >= 3` ...
Тогда `A_3 = 7 - 8/c`, следовательно, возможные значения `c = 1;2;4;8`...
Варианты `c=1` и `c=8` отбрасываются проверкой....
При `c=2` и `c=4` легко показать, что `A_n = n` и `A_n = n+2`...

Ну, и заметить, что из делимости `u_n` на `u_(n-1)`при всех `n` следует делимость `u_i` на `u_j` при `i > j`...

[_ТошА_]

хм, проглядел я единицу, точно.