Кратные числа

[wpoms.]

Найдите все натуральные `n`, такие что `n^2 + 2008` кратно `n + 2008`, а `n^2 + 2009` кратно `n + 2009`.

@темы: Теория чисел

Comments

[kostyaknop]

Поскольку n^2-a^2 всегда кратно n+a, то a^2+a должно быть кратно n+a для a=2008 и 2009.
То бишь из условия, 2008*2009 делится на число n+2008, а 2009*2010 - делится на n+2009.
Иначе говоря, числа 2008*2009 и 2009*2010 имеют два делителя, отличающиеся на 1. Так как n должно быть натуральным, то меньший из делителей должен быть не меньше 2009.
Дальше уже совсем просто из-за взаимной простоты соседних чисел. Ответ: n=1.