Точки сферы

[wpoms.]

Пусть `x`, `y`, `z` - положительные действительные числа, удовлетворяющие `x^2 + y^2 + z^2 = 1`. Докажите, что `x^2*y*z + x*y^2*z + x*y*z^2 <= 1/3`.

@темы: Доказательство неравенств

Comments

[Гость]

Решение. Используя неравенство Коши-Буняковского, получим:
`(x+y+z)^2=(1*x+1*y+1*z)^2<=(1^2+1^2+1^2)*(x^2+y^2+z^2)=3`, т.е. `(x+y+z)^2<=3`, (1).
В силу неравенства Коши между средним арифметическим и средним геометрическим будем иметь: `(x^2+y^2+z^2)/3>=(x^2*y^2*z^2)^(1/3)`.
Отсюда `(x*y*z)^2<=((x^2+y^2+z^2)/3)^3=1/27`, т.е. `(x*y*z)^2<=1/27`, (2).
Из неравенств (1) и (2) следует, что `(x*y*z)^2*(x+y+z)^2<=1/27*3=1/9`.
А значит, `x*y*z*(x+y+z)<=1/3` => `x^2*y*z + x*y^2*z + x*y*z^2 <= 1/3`.