Планиметрия

[wpoms.]

Две окружности `S_1` и `S_2` касаются друг друга внешним образом в точке `K`, они также касаются внутренним образом окружности `S` в точках `A_1` и `A_2`, соответственно. Пусть `P` - одна из точек пересечения окружности `S` с касательной к окружностям `S_1` и `S_2`, проходящей через точку `K`. Прямая `PA_1` пересекает окружность `S_1` еще и в точке `B_1`, а прямая `PA_2` пересекает окружность `S_2` еще и в точке `B_2`. Докажите, что прямая `B_1B_2` является касательной к окружностям `S_1` и `S_2`.

@темы: Планиметрия

Comments

[vyv2]

`/_A_1B_1S,/_A_2B_2S,/_A_1PA_2` - прямые, как опирающие на диаметр.Сл-но `B_1PB_2S`- прямоугольник.
`alpha,beta` на рисунке или из равнобедренного или из прямоугольного треугольника. `/_B_1B_2S_2=/_B_2B_1S_1=alpha+beta=90^o`сл-но `B_1B_2` -касательная.

[Гость]

vyv2, простенько и со вкусом

[VEk]

vyv2, не понял, почему угол `A_1PA_2` прямой. В условии ничего о том, что точки `A_1, A_2` - концы диаметра окружности `S` не сказано.
Картинка должна быть примерно такой (обозначения точек `A_1,A_2, B_1, B_2` изменены).

[vyv2]

Да, промашка вышла. Будет время вернусь.

[~ghost]

Доброго времени всем)
что-то я тоже ничего доказать не могу хотя смотрится так "просто"..

рисунок вообще может быть и такой: - и тоже все должно "сойтись".. (точку `M` на рисунке я "сама придумала" - то есть, не знаю, как объяснить, что касательные в точках A1 и A2 пересекутся как раз так, что их точка пересечения будет лежать на еще одной касательной (на `KP`) - но "так должно быть".. почему-то..)

чего-то я не увидела..=( тоже, может, еще вернусь..=(

[All_ex]

Легко доказать, что `OP parallel O_1B_1 parallel O_2B_2`... но пока не вижу, почему `B_1B_2` будет им перпендикулярно...

[~ghost]

Что-то придумала.. Не знаю, лучший ли способ, но все-таки.. Те углы, которые я начинала рисовать сначала (мой предыдущий комментарий и рисунок) мне "надоели" - т.к. они ни к чему не привели (или я чего-то так и не увидела..) Получилось совсем другое - и не уверена, что нельзя было проще..
Выводить (решение) ? или пока подождать — может, еще кто-нибудь подойдет ? )
И, может, поднять эту запись?.. А то здесь про нее помнят только те, кто уже подписан на топик..

[All_ex]

~ghost, выкладывайте... все заинтересовавшиеся и так уже здесь...

[~ghost]

Ох, хорошо было бы, если бы кто-нибудь всё это проверил.. =) я только сейчас заметила: странно, но тот факт, что "маленькие" окружности `s1` и `s2` сами друг друга касаются - у меня куда-то "пропал".. (разве он там используется ? в том, что вывожу дальше..)
Нет, вру, использовался.. (в самом начале..)
Что-то такое:

РИСУНОК

и "решение"

1) треугольник `A_1PA_2` подобен треугольнику `B_2PB_1` (потому что: "квадрат отрезка касательной = произведению всей секущей на ее внешнюю часть", т.е. `PK^2 = PA_1*PB_1` и `PK^2 = PA_2*PB_2` — только `PK^2` вообще не нужен, а приравнивая `PA_1*PB_1 = PA_2*PB_2` получаем, что 2 пары сторон треугольников пропорциональны (и угол `P` общий))
2) если знаем, что треугольники подобны - то получаем равные углы: `/_PB_2B_1 = /_PA_1A_2` и `/_PB_1B_2 = /_PA_2A_1`
3) еще - угол между касательной и хордой: `/_A_1A_2M = /_A_1PA_2`, но и он же `/_A_1A_2M = /_A_2B_2N_2` { точка `N_2` - пересечение `A_1A_2` со второй окружностью `s2`} Тогда в треугольнике `A_2B_2N_2` третий угол `/_A_2N_2B_2 = /_PB_2B_1` — а тогда получается, что через точку `B_2` на окружности `s2` проведена прямая (`B_1B_2`), которая образует с хордой `A_2B_2` угол, равный половине дуги, которую эта хорда стягивает... Т.е. эта прямая (`B_1B_2`) - касательная к окр-и `s2`
С другой стороны - для окружности `s1` - все "точно так же"..

[vyv2]

Задача однозначно приводится к ответу, т.к. существует связь между радиусами этими тремя окружностями, углами взаимного расположения и можно последовательно находить все точки и дойти до проверки на касательность. Однако это решение в лоб естественно не красиво. Однако, если утверждение задачи неверно, то этот способ возможно будет единственным. Я пытался использовать дробно-линейное преобразование, но совсем его призабыл.

[VEk]

Утверждение задачи верно. Нормальный рисунок, когда точку P можно потаскать по общей касательной это показывает. Но пока до конца решение не довел. А решение ~ghost посмотрю утром.

[All_ex]

vyv2, Я пытался использовать дробно-линейное преобразование, но совсем его призабыл. - Хм... вряд ли школьники переползают в комплексную плоскость для решения геометрических задач...

[~ghost]

Само утверждение (что `B1B2` - касательная) все-таки верно =))
(я слишком много разных рисунков пыталась нарисовать - и перемещать на них точки =)) не может быть "неверно"..=))
Решение получилось каким-то.. не очень красивым, но - чем больше смотрю на это решение, тем я "спокойней" - явных глупостей вроде не наделала..