Карта сокровищ

[wpoms.]

Длинный Джон Силверман похитил карту сокровищ у Адама МакБонес. Адам закопал сокровища в точке `(x, y)` с целыми координатами (не обязательно положительными). Он указал на карте значения `x^2 + y` и `x + y^2` и эти числа различны. Докажите, что есть единственное место, в котором Длинный Джон должен копать для того, чтобы найти сокровища.

@темы: Системы НЕлинейных уравнений

Comments

[Epygraph]

Требуется доказать, что из равенств `x^2 + y=a^2+b`, `x + y^2=a+b^2` при условии `x^2 + y\neq x+y^2` для целых чисел `x,y,a,b` следует равенство `(x,y)=(a,b)`.

Представим первые два равенства в виде `(x-a)(x+a)=b-y` и `(x-a)=(b-y)(b+y)`. Отсюда `(b-y)(b+y)(x+a)=b-y`.

Если `b-y=0`, то из равенства `x + y^2=a+b^2` получается `x=a`, т.е . `(x,y)=(a,b)`.

Если `b-y\neq 0`, то `(b+y)(x+a)=1`,
что для целых чисел равносильно равенству всех сомножителей единице или минус единице.

Пусть `b+y=1`, `x+a=1`. Тогда `x-y=b-a`, а из `(x-a)(x+a)=b-y` получается `x+y=a+b`. Отсюда `(x,y)=(b,a)`, следовательно, `x^2 + y=b^2+a=x+y^2`, что по условию невозможно.

В случае `b+y=-1`, `x+a=-1` из равенства `x^2 + y=a^2+b` получается равенство `a^2+2a+1-1-b=a^2+b` или `a=b`. Отсюда `x=y` и снова противоречие с условием.