[wpoms]

Положительные действительные числа x, y, z удовлетворяют неравенству `1/3 <= xy + yz + zx <= 3`. Определите множество значений выражений: 1) xyz 2) x+y+z.

@темы: Доказательство неравенств

Comments

[_ТошА_]

`x^2 + y^2 >= 2xy, x^2 + z^2 >= 2xz, y^2 + z^2 >= 2yz`
Сложив: `x^2 + y^2 + z^2 >= xy + xz + yz`
Тогда `(x + y + z)^2 >= xy + xz + yz + 2xy + 2xz + 2yz = 3(xy + xz + yz) >= 1 => (x + y + z) >=1`

`(x + y + z) <= 3root(3)(xyz)`

`sqrt(xy + yz + zx) >= sqrt(3 root(3)(xy*yz*zx)) = sqrt(3)*root(3)(xyz) => (xyz) <= 1`

Ну и тогда `(x + y + z) <= 3`

Оставшееся `xyz >=` сами, тем более мне что-то сразу в голову не приходит, как

[Гость]

сами

Неожиданный ход

`(x + y + z) >=1`
`(x + y + z) <= 3root(3)(xyz)`

`xyz >= ((x + y + z)/3)^3 >= (1/3)^3`, равенство достигается при `x=y=z=1/3`

[_ТошА_]

а, ну да, тоже тривиально