22:17 

Математическая олимпиада в Великобритании

Математическая олимпиада в Великобритании


Junior Challenge

читать дальше

Intermediate Challenge

читать дальше

Senior Challenge

читать дальше

Junior Mathematical Olympiad

читать дальше

Intermediate Mathematical Olympiad

читать дальше

British Mathematical Olympiad

читать дальше



Условия олимпиад 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000, 2001, 2001/2, 2002/3, 2003/4, 2004/5, 2005/6, 2006/7, 2007/8, 2008/9, 2009/10, 2010/11, 2011/12, 2012/13, 2013/14, 2014/15

URL
Комментарии
2015-09-09 в 22:22 

wpoms.
Step by step ...
2012/13 British Mathematical Olympiad

Round 1:

1. Исаак разместил несколько шашек в квадратах доски размером 8 на 8, не более одной в каждый квадрат. Определите, с обоснованием, какое наибольшее количество шашек мог он разместить, если в каждом ряду, каждой колонке, на каждой большой диагонали находилось менее пяти шашек.
обсуждение

2. Окружности `S` и `T` касаются в точке `X`. Их общая касательная касается `S` в `A` и `T` в `B`. Точки `A` и `B` различны. Пусть `AP` является диаметром `S`. Докажите, что `B`, `X` и `P` лежат на одной прямой.
обсуждение

3. Найдите все действительные числа `x`, `y` и `z`, которые одновременно удовлетворяют уравнениям `x^2 - 4y + 7 = 0`, `y^2 - 6z + 14 = 0` и `z^2 - 2x - 7 = 0`.
обсуждение

4. Найдите все натуральные числа `n`, для которых `12n -119` и `75n - 539` являются полными квадратами.
обсуждение

5. Длины сторон треугольника не превышают `2`, `3` и `4`, соответственно. Определите, с доказательством, максимально возможную площадь треугольника.
обсуждение

6. Дан треугольник `ABC`. `S` - окружность, проходящая через `B` и касающаяся `CA` в `A`, `T` - окружность, проходящая через `C` и касающаяся `AB` в `A`. Окружности `S` и `T` пересекаются в `A` и `D`. `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью, проходящей через точки `A`, `B`, `C`. Докажите, что `D` является серединой `AE`.
обсуждения

Round 2:

1. Существует ли бесконечно много пар натуральных чисел `(m,n)`, для которых `n^2 + 1` кратно `m`, а `m^2 + 1`кратно `n`?
обсуждение

2. Точка `P` лежит внутри треугольника `ABC`, при этом `/_ABP = /_PCA`. Точка `Q` такова, что `PBQC` является параллелограммом. Докажите, что `/_QAB = /_CAP`.
обсуждение

3. Рассмотрим множество натуральных чисел, двоичная запись которых содержит точно `2013` цифр, среди которых нулей больше чем единиц. Обозначим через `n` количество таких чисел и через `s` их сумму. Докажите, что если сумму `n + s` записать в двоичной системе счисления, то в ней будет больше нулей чем единиц.
обсуждение

4. Пусть `ABCD` является квадратом и точка `P` лежит на окружности, вписанной в этот квадрат. Определите, возможно ли и нет, чтобы длины всех отрезков `PA`, `PB`, `PC`, `PD` и `AB` были целыми.
обсуждение

2016-06-29 в 13:24 

wpoms.
Step by step ...
2013/14 British Mathematical Olympiad

Round 1

1. Вычислите значение `{2014^4 + 4*2013^4}/{2013^2 + 4027^2} - {2012^4 + 4*2013^4}/{2013^2 + 4025^2}`.
обсуждение

2. В остроугольном треугольнике `ABC` точка `E` является основанием перпендикуляра опущенного из вершины `B` на `AC`. Пусть `l` - касательная к окружности, описанной около треугольника `ABC`, проведённая в точке `B`. Точка `F` - основание перпендикуляра опущенного из точки `C` на `l`. Докажите, что прямая `EF` параллельна прямой `AB`.
обсуждение

3. Число `A` в десятичной системе записывается `3^{2013}` цифрами `3`. Другие цифры в десятичной записи числа `A` не используются. Найдите самое большое натуральное число `n` такое, что `3^n` делит число `A`.
обсуждение

4. Исаак планирует девятидневные каникулы. Каждый день он собирается либо заниматься серфингом, либо кататься на водных лыжах, либо просто отдыхать. При этом в каждый из дней Исаак планирует заниматься чем-то одним. Он не планирует заниматься водными видами спорта два дня подряд. Какое количество расписаний каникул может составить Исаак?
обсуждение

5. Из внутренней точки `P` равностороннего треугольника `ABC` на стороны `BC`,`CA` и `AB` опустили перпендикуляры `PD`, `PE` и `PF` соответственно. Докажите что
a) `AF + BD + CE = AE + BF + CD` и
b) `[APF] + [BPD] + [CPE] = [APE] + [BPF] + [CPD]`.
`[XYZ]` обозначает площадь треугольника `XYZ`.
обсуждение

6. Углы треугольника `A`, `B` и `C` измеряются в градусах, а длины противоположных сторон обозначены `a`, `b` и `c` соответственно. Докажите что `60 <= {a*A + b*B + c*C}/{a + b + c} < 90`.
обсуждение

Round 2

1. Каждая диагональ правильного `2014`-тиугольника окрашена в один из `n` цветов. Любые две диагонали, пересекающиеся внутри многоугольника, окрашены в разные цвета. При каком минимальном значении `n` это возможно?
обсуждение

2. Докажите, что не существует прямоугольный параллелепипед, у которого объем, площадь поверхности и периметр численно равна.
Периметр прямоугольного параллелепипеда равен сумме длин всех двенадцати ребер.
обсуждение

3. Пусть `a_0 = 4`, а последующие члены последовательности вычисляются по формуле `a_n = a_{n - 1}^2 - a_{n - 1}` для всех натуральных чисел `n`.
а) Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, которые являются делителем хотя бы одного члена последовательности;
б) Существует ли бесконечно много простых чисел, которые не являются делителем ни одного члена последовательности?
обсуждение

4. Пусть `P` - внутренняя точка треугольника `ABC`. Точка `A'` - отличная от `A` точка пересечения прямой `AP` с описанной около треугольника `ABC` окружностью. Аналогичным образом определяются точки `B'` и `C'`. Пусть точки `O_A`, `O_B` и `O_C` - центры окружностей, описанных около треугольников `BCP`, `ACP` и `ABP` соответственно, а точки `O_{A'}`, `O_{B'}` и `O_{C'}` - центры окружностей, описанных около треугольников `B'C'P`, `A'C'P` и `A'B'P` соответственно. Докажите, что прямые `O_{A}O_{A'}`, `O_{B}O_{B'}` и `O_{C}O_{C'}` пересекаются в одной точке.
обсуждение

2017-01-21 в 22:00 

wpoms.
Step by step ...
2014/15 British Mathematical Olympiad

Round 1:

1. Расположите следующие числа в порядке возрастания и обоснуйте ваши рассуждения: `3^{3^4}, \ 3^{4^3}, \ 3^{4^4}, \ 4^{3^3}` и `4^{3^4}`. Отметим, что `a^{b^c}` означает `a^{(b^c)}`.
обсуждение

2. Положительные целые числа `p`, `a` и `b` удовлетворяют уравнению `p^2 + a^2 = b^2`. Докажите, что если `p` является простым и `p > 3`, то `a` кратно` 12` и `2*(p + a + 1)` является полным квадратом.
обсуждение

3. В гостинице имеется десять номеров вдоль каждой стороны коридора. Капитан олимпийской команды хочет забронировать семь комнат так, что никакие два зарезервированные номера на одной стороне коридора не были смежными. Сколькими способами это можно сделать?
обсуждение

4. Пусть `x` - вещественное число такое, что `t = x + x^{-1}` - целое, большее `2`, число. Докажите, что `t_n = x^n + x^{-n}` является целым числом для всех положительных целых чисел `n`. Определите значения `n`, для которых `t` делит `t_n`.
обсуждение

5. Пусть `ABCD` - вписанный в окружность четырехугольник. `F` - середина дуги `AB` окружности, описанной около четырёхугольника, которая не содержит `C` или `D`. Прямые `DF` и `AC` пересекаются в точке `P`, а прямые `CF` и `BD` пересекаются в точке `Q`. Докажите, что прямые `PQ` и `AB` параллельны.
обсуждение

6. Найдите все функции `f(n): NN -> NN`, удовлетворяющие следующему условию: для любых натуральных чисел `a`, `b` и `c` таких, что `1/a + 1/b = 1/c`, выполняется равенство `1/{f(a)} + 1/{f(b)} = 1/{f(c)}`.
обсуждение

Round 2:

1. Первый член последовательности `x_1` равен `2014`. Каждый последующий член последовательности определяется рекуррентной формулой `x_{n + 1} = {(sqrt{2} + 1)*x_n - 1}/{(sqrt{2} + 1) + x_n}`.
Найти 2015-й член последовательности `x_{2015}`.
обсуждение

2. В Нечётненской начальной школе нечетное число классов. Каждый класс содержит нечетное число учеников. Один ученик из каждого класса будет выбран для формирования школьного совета. Докажите, что следующие два утверждения логически эквивалентны.
а) Способов сформировать школьный совет, который включает в себя нечетное число мальчиков больше, чем способов формирования школьного совета, который включает в себя нечетное число девочек.
б) Имеется нечетное число классов, в которых мальчиков больше, чем девочек.
обсуждение

3.

4.

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная