01:48 

Минимальное значение

wpoms.
Step by step ...
Даны положительные действительные числа `x`, `y`, `z`, удовлетворяющие равенству `x*y*z = 32`. Найдите минимальное значение `x^2 + 4*x*y + 4y^2 + 2*z^2`.

@темы: Задачи на экстремум, Функции нескольких переменных

Комментарии
2013-05-17 в 09:11 

Выражая `z=\frac{32}{xy}`, приходим к задаче о безусловных экстремумах функции `f=x^2+4xy+4y2+\frac{2048}{x^2y^2}`. Локальные минимумы `x=4,y=2` или `x=-4,y=-2` соответствуют значению `24`. При `x=-2y` получаются значения `\frac{2048}{4y^2}`, которые стремятся к нулю при `y\to\infty`. Поскольку функция в нуль не обращается, то глобальный минимум не существует.

2013-05-17 в 09:46 

Решается через неравенство о среднем арифметическим и среднем геометрическим.

2013-05-17 в 10:00 

`x^2+4xy+4y^2+2z^2=(x+2y)^2+2z^2 ge 8xy+2z^2=4xy+4xy+2z^2 ge 3 root(3)(32x^2y^2z^2) = 96`, минимум достигается при `x=2y=z=4`

URL
   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная