Планиметрия

[wpoms.]

В треугольнике `ABC` `/_ACB > /_ABC`. Биссектриса `/_BAC` пересекает `BC` в точке `D`. Точка `E` на `AB` такова, что `/_EDB = 90^@`. Точка `F` на `AC` такова, что `/_BED = /_DEF`. Покажите, что `/_BAD = /_FDC`.

@темы: Планиметрия

Comments

[~ghost]

Всем доброго времени)
вроде "простая задача", но подобрать слова "по-человечески" - не получается..
получается очень коряво.. =)

По условию: `AD`- биссектриса (т.`D` - на `BC`), в этой точке `D` провели перпендикуляр к стороне `BC` - т.е. `DE`_|_`BC`, и построили `/_DEF = /_DEB` (точка `F` - на `AC`).
Дальше: через точку `F` проводим прямую параллельную основанию `BC`- т.е. `FL`||`BC` (т.`L` - на стороне `AB`). Получаем равнобедренный треугольник `FEL`, для которого прямая `DE` - серединный перпендикуляр к стороне `FL`.

если "дотошно" совсем подробно - то как-то так..

Точнее: получили `DE`_|_`FL`, т.е. в треуг-ке `LEF` биссектриса угла `E` является одновременно высотой => т.е. треугольник `LEF` - равнобедренный, и "биссектриса-высота" является еще и медианой; т.е. прямая `DE` - серединный перпендикуляр к отрезку `FL`. {без соблюдения школьного правила "перпендикуляром называть отрезок".. - здесь я обозвала перпендикуляром прямую.. }
Если докажем, что 4-угольник `AFDL` - вписанный (т.е. вокруг него можно описать окружность) - то будет "всё очевидно"..

Рассматриваем окружность, описанную вокруг треуr-ка `AFL` ( центр такой описанной окружности - где-то на прямой `DE`).
Может, можно сразу сказать, что "биссектриса пересекается с серединным перпендикуляром к стороне - в точке, лежащей на описанной вокруг треугольника окружности".. (т.е. точка `D` - на той же окружности, описанной вокруг `AFL`). Но если "не очевидно", и так "сразу говорить"- нельзя, то.. как-то так:
Пусть окружность пересекается с прямой `DE` в точке `D1`. Т.к. `DE` - серединный перпендикуляр к стороне, то прямая `DE` делит дугу `FL` на 2 равные дуги ( дуга `FD1` = дуге `LD1`), а тогда и вписанные углы - равные: `/_FAD1 = /_LAD1`, т.е. `AD1` - биссектриса угла `A`, т.е. точка `D1` - на биссектрисе `AD`; но точка пересечения биссектрисы `AD` с перпендикуляром `DE` - это точка `D`. Т.е. `D1` и `D` - совпадают (одна и та же точка).
Т.е. 4-уг-к `AFDL` - вписанный. И `BC` (проходящая через точку `D` на окружности, и перпендикулярная диаметру) - является касательной. А угол между касательной и хордой: `/_ FDC =` половине дуги `FD`, и `= /_ FAD = /_BAD`.

[Груша Вильямс]

~ghost, добрый день)
Прочел Ваше решение, всё идеально расписано, вопросов нет
Вот придумал для себя задачу: доказать, что `LEFD` дельтоид.
То есть осталось доказать, что треугольник `FLD` равнобедренный. Пусть точка `N` - точка пересечения диагоналей,
тогда `/_FDN=180^@-alpha-/_LDN=180^@-alpha-90+/_DLN=90-alpha+180^@-beta-/_BLD=90-alpha+180^@-beta-180^@+beta+(alpha)/2=90-(alpha)/2` ,
т.е. `/_FDN=/_LDN` -> `DE` биссектриса треугольника `FLD` и его высота -> треугольник `FLD` равнобедренный -> `LEFD` дельтоид.
Кажется, что из Вашего решения сразу следует равнобедренность треугольника `FLD`, только понять не могу откуда именно.

p.s. интересная штука получается, описать окружность около дельтоида можно если только треугольник `ABC` равнобедренный.

[~ghost]

Груша Вильямс, "круто Вы его".. (треугольник `LDF`)
у Вас все верно, но там просто прямая `DE` - серединный перпендикуляр, т.е. высота `ND` является одновременно медианой => треуг-к равнобедренный (прямоугольные треугольники `FND` и `LND` равны по 2 катетам)

а так, чтобы эта же окружность (описанная вокруг `AFDL`) проходила бы еще и через точку `E` ? (чтобы `FELD` был бы вписанным) - ну да, точки `A` и `E` должны были бы совпасть.. (но это уже не из этого условия =))

[Груша Вильямс]

~ghost, медиана же, `N` у нас ведь середина я вот и думаю, что чересчур криво я эту равнобедренность доказал
Через точку `E` никак не пройдет, ведь она по построению на хорде. Я про другую окружность, если бы в задании было дописано, что прямая проходящая через точку `F` параллельно `BC` пересекает сторону `AB` в точке `L` и требовалось бы сказать что именно за фигура `LEFD` и при каких условиях на треугольник `ABC` эту фигуру можно вписать в окружность, то ответ был бы: фигура `LEFD` - дельтоид, треугольник `ABC` равнобедренный.

p.s. заинтересовался я этим дельтоидом что-то после егэ, там в сечении он был просто, дельтоид в массы пустили

[~ghost]

так если бы бы треугольник `ABC` равнобедренным - то и точка `E` была бы вообще точкой `A`.. (серединный перпендикуляр проходил бы через вершину..) или я не о том ? )

дельтоид в массы пустили

— ага.. я там где-то еще и С4-ую задачу видела - планиметрию с дельтоидом..

[Груша Вильямс]

~ghost, так-то да, я что-то не заметил даже) О том, о том, я просто представил что будет проходить, то есть сумма противоположных углов дельтоида `180^@`,
ну и `180^@-alpha+180^@-2beta=180^@`, `alpha+2beta=180^@`, то есть треугольник `ABC` равнобедренный.