Точка внутри треугольника

[wpoms.]

Точка `P` находится внутри треугольника `ABC`. Прямая, проходящая через `P` параллельно `AB`, пересекает `BC` в точке `L`, прямая, проходящая через `P` параллельно `BC`, пересекает `CA` в точке `M`, прямая, проходящая через `P` параллельно `CA`, пересекает `AB` в точке `N`. Докажите, что `(BL)/(LC) xx (CM)/(MA) xx (AN)/(NB) <= 1/8` и определите, где должна находиться точка `P` в треугольнике `ABC` для достижения равенства.

@темы: Планиметрия

Comments

[~ghost]

Всем доброго времени) "В порядке флуда": где должна быть точка P, чтобы достигалось равенство, - т.е. чтобы каждая из дробей была бы = 1/2, - это "почти очевидно" А вот почему во всех остальных случаях строго меньше - это еще "подумать надо" =)

[rom7]

точка на пересечении медиан будет. Подозреваю, что все остальные точки будут лежать на первой части (считая от вершины) одной из медиан.
Подстановкой получается, но надо доказать ещё

[Гость]

Обозначим `(BL)/(LC)=x/(1-x),(CM)/(MA)=y/(1-y)`, тогда `(AN)/(NB)=(1-x-y)/(x+y)`
Чисто алгебраически задача сводится к минимизации максимизации функции `f(x,y)=x/(1-x)*y/(1-y)*(1-x-y)/(x+y)`
с ограничениями `0<x,y<1`. Максимум этой функции будет равен действительно `1/8` для `x=y=1/3`

[Гость]

Исправление описки в предыдущем посту: должно быть максимизации функции `f(x,y)`