Остаток от деления

[wpoms.]

Пусть `a_1 = 19, a_2 = 98`. Для `n >= 1` число `a_{n+2}` определим как остаток от деления `a_n + a_{n+1}` на 100. Чему равен остаток от деления `a_1^2 + a_2^2 + ldots + a_{1998}^2` на 8?

@темы: Теория чисел

Comments

[vyv2]

Ответ 0.
Надо сгруппировать сумму квадратов по 6.
`sum_(i=0)^332 (a_(6i+1)^2+a_(6i+2)^2+a_(6i+3)^2+a_(6i+4)^2+a_(6i+5)^2+a_(6i+6)^2)`
Каждая из этих групп делиться на 8

[Epygraph]

1) Если не брать остатки от деления на 100, то числа `a_n` приобретут слагаемое вида `100*m`, что не повлияет на остаток от деления квадрата на 8, т.к. `(a_n+100*m)^2=a^2_n+200*a_n*m+ 10000*m^2` и последние слагаемые без остатка делятся на 8.
2) Последовательность остатков от деления на 8 чисел пункта 1 имеет период `3,2,5,7,4,3,7,2,1,3,4,7`, начинающийся с первого члена последовательности остатков. При этом остатки от деления на 8 суммы квадратов повторяются с периодом 6, начинающегося со второго элемента. Поэтому искомый остаток равен не нулю, а `3`.

[vyv2]

`a_(6i+3)=a_(6i+1)+a_(6i+2)-100n`
`a_(6i+4)=a_(6i+1)+2a_(6i+2)-100n`
`a_(6i+5)=2a_(6i+1)+3a_(6i+2)-100n`
`a_(6i+3)=3a_(6i+1)+5a_(6i+2)-100n`
n может принимать целые значения для каждого члена свое .
`sum_(i=0)^332 (a_(6i+1)^2+a_(6i+2)^2+a_(6i+3)^2+a_(6i+4)^2+a_(6i+5)^2+a_(6i+6)^2)=`
`=sum_(i=0)^332 ((1+1+1+4+9)a_(6i+1)^2+(1+1+4+9+25)a_(6i+2)^2+(2+4+12+30)a_(6i+1)a_(6i+2)+200n) `
`=sum_(i=0)^332 (16a_(6i+1)^2+40a_(6i+2)^2+48a_(6i+1)a_(6i+2)+200n) `
Каждое слагаемое делится на 8 , значит остаток 0.

[vyv2]

Заметьте, что ответ не зависит от значений `a_1quad a_2`

[Epygraph]

vyv2, у Вас все правильно. Я при подсчете суммы квадратов забыл квадраты первых двух слагаемых.