00:35 

Уравнение

wpoms.
Step by step ...
Найти решение системы уравнений `xy + yz + zx = 12, \ \ xyz = 2 + x + y + z`, где `x, y, z` положительные числа, и доказать, что оно является единственным подобным решением.
Показать, что существует решение, в котором `x, y, z` действительны и различны.


@темы: Системы НЕлинейных уравнений

Комментарии
2013-01-23 в 12:29 

vyv2
Сопротивление бесполезно
При x=y=z решение x=y=y=2.
Пусть x,y,z - положительны.
Из (2) `z=(2+x+y)/(xy-1)`, причем `xy!=1` иначе `x+y=-2`.
Подставляя z в (1) , получим квадратное уравнение для y относительно х:
`y^2(1+x^2)-(11x-2)y+x^2+2x+12=0` , дискриминант которого `D=-(2x+11)(2x+1)(x-2)^2>=0`только при х=2. Т.е. при положительных x,y.z единственное решение x=y=z=2.
В силу симметрии квадратное уравнение для z относительно х будет подобно y с тем же дискриминантом.
Поэтому, например, при `x=-3/2` получим `y=-9/13quadquadz=-5`

2013-01-23 в 13:05 

Adjirranirr
Только дурак нуждается в порядке — гений господствует над хаосом.
Как вариант.

Пусть `p(t) = (t - x)(t - y)(t - z) = t^3 - (x + y + z) t^2 + (xy + yz + zx) t - xyz`, и `xyz = a`. Тогда многочлен `p(t) = t^3 - (a - 2) t^2 + 12 t - a` имеет дискриминант `-(2a+11)*(2a+9)*(a-8)^2`, который для того, чтобы многочлен имел 3 действительных корня, должен быть неотрицательным. Тогда `a = 8` или `-11/2 <= a <= -9/2`. В первом случае получим `p(t) = t^3 - 6t^2 + 12t - 8 = (t - 2)^3` и `x = y = z = 2`. Во втором случае, все коэффициенты многочлена `p(t)` положительны и он имеет по меньшей мере один отрицательный корень. А в силу положительности дискриминанта при `a \in (-11/2;\ -9/2)` все корни будут действительными и различными.

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная