00:43 

Делимость

wpoms.
Step by step ...
Пусть `M` и `N` два различных девятизначных натуральных числа, такие, что если какую-либо одну цифру `M` заменить на соответствующую цифру `N` (например, цифру в разряде десятков числа `M` заменить цифрой разряда десятков числа `N`), то полученное целое число будет кратно 7. Докажите, что любое число, получаемое заменой цифры числа `N` на соответствующую цифру числа `M`, также является кратным 7.
Найти целое число `d > 9`, при которым описанное выше свойство делимости на 7 остается верным, когда `M` и `N` два различных `d`-значных натуральных числа.


@темы: Теория чисел

Комментарии
2013-01-13 в 08:39 

vyv2
Сопротивление бесполезно
Пусть`M=(a_9,...,a_1)quadN=(b_9,...,b_1)`.
Обозначим через`M_k` число `M`, у которого на k-ом месте стоит `b_k`,
а через `N_k` число `N`, у которого на k-ом месте стоит `a_k`.
Тогда надо доказать, что `N_kvdots7`, если `M_kvdots7`.
Просуммируем `M_i`по всем i , у которых на i-ом месте не стоит`b_k`: `sum_(i=1,i!=k)^9M_i=7*(a_9,...,a_1)+(b_9,...,a_k,...,b_1)=7*(a_9,...,a_1)+N_k`. Т.к. `M_kvdots7`, то и `N_kvdots7`.
d=16, при которым описанное выше свойство делимости на 7 остается верным, когда M и N два различных d-значных натуральных числа.

2013-01-13 в 19:39 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А я не понял вторую часть задания...
Возьмём `M = 777...7` и `N = 700...0`... тогда условие делимости изменённых чисел выполнено при любом `d`...

2013-01-13 в 21:53 

vyv2
Сопротивление бесполезно
Вторая часть требует указать длину d>9 для любых чисел M и N , обладающих свойствами, которые описаны в условии.

2013-01-13 в 22:05 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
vyv2, ну, для любых чисел оно тоже неверно... Возьмём `M = 777...77` и `N = 700...01`...
В общем, я чего-то недопонимаю... :upset:

2013-01-13 в 22:37 

vyv2
Сопротивление бесполезно
для любых чисел таких, что если какую-либо одну цифру M заменить на соответствующую цифру N (например, цифру в разряде десятков числа M заменить цифрой разряда десятков числа N), то полученное целое число будет кратно 7

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная