02:00 

Десятичная запись числа

wpoms.
Step by step ...

Действительное число `x` (`0 < x < 1`) имеет десятичное представление `0.a_1a_2a_3a_4...` с таким свойством: количество различных блоков вида `a_ka_{k+1}a_{k+2}...a_{k+2003}` (для всех натуральных `k`) меньше или равно `2004`. Докажите, что `x` является рациональным числом.



@темы: Математический анализ, Теория чисел

Комментарии
2013-09-29 в 21:45 

Странная задача, если значение блоков из 2004ёх цифр меньше 2004, то можно сказать, что первые 2002 цифры в блоке нули, но если последние четыре не нули, то мы берем новый блок, который начинается с последних четырех и получаем число большее 2004ёх, следовательно все `a_i` нули, но тогда и x=0, а по условию x>0

2013-09-29 в 21:49 

Ой, количество же различных блоков, подумал что значение блока :bricks:

2013-09-29 в 23:06 

Если различных блоков 2004, то `x=0,(a_1...a_2004)`, т.к. `a_i=a_(i+2004)` правда что делать дальше не понятно...

2013-09-30 в 08:37 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, наверное, надо сказать, что максимально возможным числом эти блоки можно переставлять `N` способами... итого, период числа будет составлять не более, чем `2004*N` чисел...
Не до конца строго (поскольку пока не понял чему равно `N`), но, по-моему, в эту сторону...

2013-09-30 в 22:31 

All_ex, походу вся соль в доказательстве периодичности, я начинал так:
1) упростил задачу до количества различных блоков `a_ka_(k+1)` меньше или равно двух, затем рассмотрел два различных блока
`a_1a_2`
`...a_2a_1` - тут именно `a_3=a_1` либо `a_3=a_2`, в противном случае третий блок начинается с `a_3`, но два предыдущих другие;
`.....a_1a_2` - третий блок начинается с `a_1`, значит он равен первому блоку.
Получаем `x=0,a_1a_2a_1a_2...=0,(a_1a_2)` (тут видим что `a_i=a_(i+2)`) либо `x=0,a_1(a_2)`.
2) упростил задачу до количества различных блоков `a_ka_(k+1)a_(k+2)` меньше или равно трёх, затем рассмотрел три различных блока
`a_1a_2a_3`
`...a_2a_3a_4`
`......a_3a_4a_5`
`.........a_4a_5a_6` отсюда
если `a_4=a_1`, то `a_5=a_2, a_6=a_3`
`a_1a_2a_3`
`...a_2a_3a_1`
`......a_3a_1a_2`
`.........a_1a_2a_3`
то есть если четвертый блок равен первому`x=0,(a_1a_2a_3)`
если `a_4=a_2`, то `a_5=a_3,a_6=a_2`
`a_1a_2a_3`
`...a_2a_3a_2`
`......a_3a_2a_3`
`.........a_2a_3a_2`
то есть если четвертый блок равен второму, то `x=0,a_1(a_2a_3)`
если `a_4=a_3`, то `a_5=a_6=a_3`
`a_1a_2a_3`
`...a_2a_3a_3`
`......a_3a_3a_3`
`.........a_3a_3a_3`
то есть если четвертый блок равен третьему, то `x=0,a_1(a_3)`

Но вчера я рассмотрел только случай когда четвертый равен первому, поэтому такой вывод сделал.
Получается если `n`-ый блок равен `n-k`- му, то период `a_(n-k)...a_(n-1)`. Это, конечно, не доказательство, но я больше не знаю как это можно показать :)
В итоге у нас периодическая дробь либо смешанная периодическая дробь, и, вроде бы, на основании теоремы (всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической) можно сказать, что доказано (это рациональное число `0<x<1` тк перед запятой стоит `0`).

Но опять же рассмотрен только случай когда все блоки различны и рассмотрен некрасиво, тут наверное индукцией как-то надо пройтись...

2013-10-01 в 00:22 

All_ex, наверное, надо сказать, что максимально возможным числом эти блоки можно переставлять `N` способами
Вы имели ввиду, что все блоки состоят из одних и тех же цифр и образуются `N` поворотами (т.е. если 2004 цифры написать по окружности и поворачивать)?
Докажем, что все блоки состоят из одних и тех же цифр:
возьмем первые 2004 блока (`a_1...a_2004, a_2...a_2005,...,a_2004...a_4007`), т.к. следующий 2005ый блок равен одному из предыдущих, то все цифры в блоках одинаковы. Ну странное какое-то у меня доказательство получилось, не нравится оно мне :)
С поворотами тоже не понятно, как бы понятно, но как доказать непонятно.

2014-06-18 в 03:37 

официальное решение

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная