Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
23:42 

Планиметрия

wpoms.
Step by step ...

Длины сторон треугольника равны `a`, `b`, `c` и длина радиуса его описанной окружности равна `R`. Докажите, что треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда `a^2 + b^2 + c^2 = 8R^2`.


@темы: Планиметрия

Комментарии
2013-05-31 в 06:22 

Доброго времени всем
В одну сторону - очевидно.. (если знаем, что треугольник прямоугольный - то `a^2+ b^2 = c^2` и `R = c/2`, и очевидно, что равенство верно);

а если знаем, что `a^2 + b^2 + c^2 = 8R^2`, то.. можно записать все стороны по теореме синусов: `a = 2R*sin(alpha)`, `b = 2R*sin(beta)` и `c = 2R*sin(gamma)`,
и получить из заданного равенства — такое: `sin^2(alpha) + sin^(beta) + sin^2(gamma) = 2` {где `gamma = 180 - (alpha + beta)`, т.е. `sin(gamma) = sin(alpha + beta)`}
и вроде из `sin^2(alpha + beta) = 2-sin^2(alpha) - sin^2(beta)` можно "вытянуть" условие `cos(alpha + beta) = 0` (что и будет означать, что `alpha + beta = 90`)

`sin^2(alpha)*cos^2(beta) + cos^2(alpha)*sin^2(beta) +2*sin(alpha)*cos(alpha)*sin(beta)*cos(beta) = 1- sin^2(alpha) + 1 - sin^2(beta)`
`2*sin(alpha)*cos(alpha)*sin(beta)*cos(beta) = cos^2(alpha) + cos^2(beta) - sin^2(alpha)*cos^2(beta) - cos^2(alpha)*sin^2(beta)`
`2*sin(alpha)*cos(alpha)*sin(beta)*cos(beta) = cos^2(alpha)*( 1 - sin^2(beta) ) + cos^2(beta)*( 1 - sin^2(alpha) )`
и т.д.
(хотя, может, это не самое "простое", что можно здесь сделать.. может, можно проще=))

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная