Планиметрия

[wpoms.]

`AP`, `AQ`, `AR`, `AS` - хорды данной окружности, такие, что `/_PAQ = /_QAR = /_RAS`. Докажите, что `AR*(AP + AR) = AQ*(AQ + AS)`.

@темы: Планиметрия

Comments

[~ghost]

Можно доказать (только не уверена, что это лучший способ), если свести все к теореме о касательной и секущей: « квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть », или - как следствие - произведение всей секущей на ее внешнюю часть одинаково для всех секущих, проведенных к окружности из одной точки..

На рисунке, кажется, отмечено много "лишних" углов `alpha` - но они там действительно все равные =))

КАК-ТО ТАК...

1) Должно получиться: `(AP + AR)` - вся секущая, `AR` -ее внешняя часть, и `(AQ +AS)` - вся секущая, `AQ` - внешняя часть;
т.е. "разворачиваем" отрезки: на продолжении `AP` за точку `A` строим `AR1 = AR`, и на продолжении `AS` за точку `A` строим `AQ1 = AQ` ( т.е. рассматриваем секущие `PR1` и `SQ1` - и доказываем, что `AR1*(AP + AR1) = AQ1*(AS + AQ1)` {или так: `AR1*PR1 = AQ1*SQ1`} )
"Всё очевидно" - но "объяснения" получаются какими-то очень длинными..
2) Заданные равные углы: `/_PAQ = /_ QAR = /_ RAS = alpha` ( и соответствующие дуги `= 2alpha`).
В построенном равнобедренном треугольнике `RAR1` угол `/_RAR1 = 180 - 2alpha` => углы при основании `/_ R = /_R1 = alpha`. И так же в треугольнике `QAQ1` - углы такие же.
3) Тогда: угол `/_ ART = alpha`, {точка `T` - пересечение `R1R` с окружностью}, т.е. дуги `AT` и `SR` - равные => `ST || AR`, и `ARST` - равнобедренная трапеция, а в ней диагонали - равные: `AS = TR` (Или можно было доказать равенство треугольников `ARS = RAT` по стороне и двум углам). {То же самое и с другой стороны: `AQPM` - равнобедренная трапеция, и `AP = QM`}
4) Треуг-к `R1PR` = треугольнику `Q1QS` - так как: угол `/_APR = /_SQM` (оба `= 2alpha + 1/2`дуги`ST` ), и хорды `PR` и `QS` очевидно равные, то есть треугольники равны по стороне (`PR = QS`) и двум углам. Тогда и стороны равные: `R1R = Q1S`; а т.к. и `TR = AS`, то и `R1T = AQ1`
Т.е. вместо хорды `Q1S` можем рассматривать хорду `R1R` - то есть `AQ1*(AS + AQ1) = R1T*(TR + TR1) `, и по теореме - это произведение одинаково для всех секущих, проведенных из той же точки: `R1T*(TR + TR1) = R1A*(AR1 + AP)` {Или так же могли бы вместо `R1R` брать `Q1S`, и вместо `R1P` брать равную ей `Q1Q` (где `QM = AP`)}