01:55 

Единицы измерения

wpoms.
Step by step ...
Традиционно единицами измерения углов являются 1 градус и 1 радиан, но можно выбирать и какую-нибудь другую единицу измерения. Например, если мы будем использовать `30^@` в качестве новой единицы измерения, то величины углов в `30^@`, `60^@` и `90^@` будут равны 1, 2 и 3 новым единицам измерения, соответственно.

На рисунке изображен треугольник `ABC` с вписанным в него треугольником `DEF`. Все обозначенные на рисунке углы различны и их величины выражаются целыми числами `a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l` в некоторой, неизвестной заранее, единице измерения углов. Найдите такую единицу измерения, в которой `a+b+c` принимает наименьшее возможное значение, и приведите величины всех углов в этой новой единице измерения.


@темы: Планиметрия

Комментарии
2012-12-07 в 08:36 

Это задача на нахождение НОД конкретных величин на рисунке? Или на подбор таких углов, для которых все это будет выполнено?
Если второе, то годится например A=13 B=6 C=1 D=8 E=7 F=5 G=3 H=4 I=12 J=2 K=10 L=9, при этом A+B+C=20, и это действительно минимум, потому что сумма 12 углов не может быть меньше 12*13/2 = 78, при этом она должна быть кратна 4, поскольку состоит из четырех подсумм с равными суммами (три развернутых угла и a+b+c). То бишь минимальное значение общей суммы - 80, и здесь оно достигнуто.


Откуда задачка?

2012-12-07 в 08:43 

Это задача на нахождение НОД конкретных величин на рисунке?
Рисунок в достаточной степени условен.

Или на подбор таких углов
Скорее всего - да, но приведенный пример выглядит излишне острым

из четырех подсумм с равными суммами
Помимо этого есть и четыре маленьких треугольника

Откуда задачка?
Из Англии

URL
2012-12-07 в 09:29 

То, что он острый - не важно. Там можно менять тройки углов местами.
Вот табличка
* A B C
D * J K
E H * L
F G I *
В ней все суммы строк должны быть равны, и все суммы столбцов должны быть равны. Это как раз пять треугольников и три развернутых угла. Других условий нет.
В табличке я расставляю как можно меньшие числа, чтобы "магическая сумма" была как можно меньшей. Сделать ее меньше 20 невозможно.
А при сумме 20 - да, какие-то углы будут относиться как 13:1, что визуально (рисунком) никак не подтверждается. Так что где-то что-то будет слишком острым.

Если требуется, чтобы все углы не были тупыми (то есть были не больше половины от магической суммы), то это условие надо записать явно. Пока оно не записано, было бы странно его соблюдать.

Про Англию - это как-то все равно, что написать "из Интернета". А откуда из Англии-то?

2012-12-07 в 09:48 

Alidoro
Если задача на подбор, то можно подобрать такие углы, что a+b+c может быть сделано как угодно малым. Например, все углы равны 60 градусов.
По-моему, в задаче сказано, что целые углы уже заданы, просто требуется выбрать другую единицу измерения, чтобы минимизировать a+b+c. При этом не требуется, чтобы в новой единице измерения углы были целыми. Поэтому эта сумма углов в любом случае может быть сделана как угодно малой выбором очень большой единицы измерения. Так что задача не имеет решения при любом выборе углов.

Но будем ждать, пока автор топика ответит на вопросы.

2012-12-07 в 10:02 

При этом не требуется, чтобы в новой единице измерения углы были целыми.
Думаю, что требование целочисленности сохраняется

URL
2012-12-07 в 10:10 

Alidoro
Думаю, что требование целочисленности сохраняется
Давайте дождемся ответа wpoms.

2012-12-07 в 10:30 

Давайте дождемся

URL
2012-12-07 в 13:17 

wpoms.
Step by step ...
1) Рисунок условный (на нём просто обозначены углы). Условия остроугольности нет.
2) Углы принимают целое значение в новой единице измерения. Величина в градусах может быть не целой.
3) Например, все углы равны 60 градусов - не может быть, так как все угла разные.

2012-12-07 в 15:49 

Alidoro
Углы принимают целое значение в новой единице измерения.
Тогда подходит гипотеза kostyaknop задача на нахождение НОД конкретных величин на рисунке
Переход к другой единице измерения означает умножение всех углов на некоторый положительный коэффициент `alpha` Поскольку углы после умножения остаются целыми, то `alpha` рационально. И если его представить в виде несократимой дроби `m/n`, то все первоначальные числа числа `a,b,c,...` должны делиться на `n`. Для того чтобы минимизировать `a+b+c` коэффициент должен быть выбран минимальным. Из всех чисел со знаменателем `n` минимум будет при `m=1`, а из всех чисел с числителем `1` минимум будет при наибольшем знаменателе, то есть `n` должно равняться наибольшему общему делителю всех двенадцати чисел, выражающих углы.

Про то, что первоначальные углы все различны, увидел в тексте задачи, согласен. А вот то, что числа после умножения должны быть целыми, в задаче нет.

2012-12-07 в 15:52 

А вот то, что числа после умножения должны быть целыми, в задаче нет. - В новых единицах - целые, в градусах - необязательно.

URL
2012-12-07 в 15:56 

Условия остроугольности нет.
В таком случае составители могли бы сформулировать задачу о 12 углах и без использования рисунка. Официального решения у нас нет, а рисунок с остроугольными треугольниками есть.

Из приведенного выше минимального решения
A=13 B=6 C=1 D=8 E=7 F=5 G=3 H=4 I=12 J=2 K=10 L=9
можно получить некоторое количество других решений
A=n+6 B=n-1 C=n-6 D=n+1 E=n F=n-2 G=n-4 H=n-3 I=n+5 J=n-5 K=n+3 L=n+2 A+B+C=3n-1
среди которых есть, при условии n+6 < (3n-1)/2, и остроугольные.

URL
2012-12-08 в 14:05 

Получая некоторое количество других решений, вы ни разу не доказали их минимальность для остроугольных.

Минимальным значением для остроугольного будет A+B+C=34, при этом числа должны быть 5, 6 и от 8 до 17

2012-12-09 в 03:39 

Я только пытался обсудить содержание задачи. Интересно, что решение в каком-то смысле симметрично минимальному.

URL
   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная