Двоичная запись числа

[wpoms.]

Покажите, что существует целое число `n` с следующими свойствами: (i) двоичное представление `n` имеет точно `2004` нулей и `2004` единиц; (ii) `n` кратно `2004`.

@темы: Теория чисел

Comments

[Alidoro]

Имеем `2004=(11111010100)_2` припишем три двоичных нуля - получим число `(11111010100000)_2` делящееся на 2004. Это число имеет 7 нулей и 7 единиц. Но число 2004 делится на 7 (в частном получается 286), поэтому если мы повторим запись этого числа 286 раз, то получим число из 2004 нулей и 2004 единиц, которое в то же время делится на 2004. (Чтобы получить двоичную запись частного, достаточно число `(00000000001000)_2` записать последовательно 286 раз и отбросить впереди стоящие нули.)