00:05 

Подобные треугольники

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC` с тупым углом `A`. Точка `Q` лежит на описанной окружности, с той же стороны от хорды `BC`, что и `A`, и отлична от точек `A`, `B` и `C`, `PQ` - диаметр окружности. Точки `V` и `W` - основания перпендикуляров из `Q` на `CA` и `AB`, соответственно. Докажите, что треугольники `PBC` и `AWV` подобны.



@темы: Планиметрия

Комментарии
2014-03-28 в 09:48 

1) Из описанного четырехугольника `ABPC` следует `/_CPB=/_BAV`,
последний угол принадлежит тоже описанному четырехгольнику `AVQW`.
2) Оба четырехугольника `ABPC` и `AVQW` имеют по паре прямых углов.
В этих четырехугольниках четыре пары равных углов, которые следуют
в одном порядке, значит, эти четырехугольники подобны.
3) С другой стороны треугольники `PBC` и `AWV` получаются в этих
четырехугольниках `ABPC` и `AVQW` после проведения диагоналей `BC` и `VW`,
соединяющих вершины соответствующих равных углов, значит, треугольники `PBC` и `AWV` подобны.

URL
2014-03-28 в 18:45 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
В этих четырехугольниках четыре пары равных углов, которые следуют в одном порядке, значит, эти четырехугольники подобны. - Вроде для четырёхугольников для подобия не достаточно равенства углов... :upset:

2014-03-29 в 00:10 

vyv2
Сопротивление бесполезно
Тем более, что четырехугольник ABPC не имеет в общем случае пары прямых углов.

2014-03-30 в 13:28 

И здесь всем доброго дня) С 1-ым действием Гостя, конечно, согласна: угол CPB = углу VAW ( т.к. оба они = (180 - угол BAC) ). А дальше.. про подобные 4-угольники- непонятно (они вроде и не подобны =( ) Но то, что 4-уг-к AVQW - вписанный (существует описанная вокруг него окружность ) - да, "важно" =) Так как тогда угол AWV = углу AQV = (90 - угол VAQ ). Но угол VAQ =( 180 - угол CAQ ) = углу CBQ. Т.е. ( еще раз ): угол AWQ = (90 - угол CBQ). А (90 - угол CBQ) = углу CBP. ( По крайней мере если нарисовать точку Q на "меньшей" дуге AB - то разности углов запишутся такие... может, при других положениях точки Q что-нибудь в записи немного изменилось бы.. но все равно "всё доказывается" =) )

2014-03-30 в 19:31 

Всем доброго вечера! Уважаемые коллеги, только сегодня увидел свою оплошность в первом своем посту.
Во 2) и 3) пунктах поставил не ту букву, имелся в виду четырехугольник `QBPC` , (который имеет две пары противоположных прямых углов), а не `ABPC`. Что же касается признака подобия четырехугольников по соответствующим углам, которые идут в одной последовательности, то забыл упомянуть, что речь идет о
вписанных четырехугольниках. На всякий случай привожу исправленное доказательство.
1) Из описанного четырехугольника `ABPC` следует `/_CPB=/_BAV`,
последний угол принадлежит тоже описанному четырехгольнику `AVQW`.
2) Два четырехугольника `QBPC` и `AVQW` имеют по паре прямых углов.
В этих описанных четырехугольниках четыре пары равных углов, которые следуют в одном порядке,
значит, эти четырехугольники подобны.
3) С другой стороны, треугольники `PBC` и `AWV` получаются в этих
четырехугольниках `QBPC` и `AVQW` после проведения диагоналей `BC` и `VW`,
соединяющих вершины соответствующих равных углов, значит, треугольники `PBC` и `AWV` подобны.

URL
2014-03-30 в 19:50 

vyv2
Сопротивление бесполезно
1) Из описанного четырехугольника `ABPC` следует `/_CPB=/_BAV`,

У меня не следует.

`/_ VAW=/_BPC`. Отсюда следует подобие вписанных четырехугольников `AVQW`и`QBPC`, у которых пара противоположных углов прямые, а один общий.
Значит, треугольники `PBC` и `AWV` подобны.

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная