И снова "Школьники! Ау!"

[wpoms.]

И Петя и Женя имеют по целому числу рублей. Петя сказал: "Если ты дашь мне `3` рубля, то у меня будет в `n` раз больше рублей, чем у тебя". Женя сказала: "Если ты дашь мне `n` рублей, то у меня будет в `3` раза больше рублей, чем у тебя". Предположив, что все эти высказывания истины и что `n` является натуральным числом, укажите все возможные значения `n`.

@темы: Системы линейных уравнений

Comments

[Груша Вильямс]

Составляем систему`{(y+3=n(x-3)),(x+n=3(y-n)):}`,откуда `x=3y-4n` и уравнение `(x-3)(3y-x)=4(y+3)`, `(x-3y)(x-3)+4y=0`, тк `y>=0`, то `3<=x<=3y` либо `3y<=x<=3`, понятно, что первый вариант отпадает, тк не выполняется `3y-4n<=3y` в силу натуральности `n`, следовательно, `y=0` или `y=3`. Дальше просто должно быть.
Правильно, или быстрее решается?

[All_ex]

Груша Вильямс, тк `y>=0` - вроде, `y` больше `n` должно быть...

[All_ex]

Что-то я совсем плохой стал...
Перепишем систему от Груша Вильямс `{(y+3=n(x-3)),(x+n=3(y-n)):}` в виде `{(n*x - y = 3*n + 3), (-x + 3*y = 4*n):}`... откуда получаем, что `x = {16*n + 9}/{3*n - 1} = 5 + {n + 14}/{3*n - 1}`... но последняя дробь при натуральных `n` не будет целым числом... ... то есть решений нет...

Ткните меня чем-нибудь в ошибку...

[Дилетант]

All_ex,

Ткните меня чем-нибудь в ошибку...

В числителе 13n вместо 16n ))

[All_ex]

Дилетант,

.

В числителе 13n вместо 16n )) - спасибо!... ... прям камень с души сняли...

[Дилетант]

All_ex,

.

Обращайтесь ))

[Груша Вильямс]

Да, неправильно решил...там второй случай выпадает, тк не выполняется `3y-4n>=3y`, а из этого `3<=x<=3y` не найти значения `x` и `y`.
А вот если бы `x=3y+4n` было, то, согласитесь можно найти `n` , тогда первый вариант отлетал бы, а из `3y<=x<=3` следовало бы `y=1`, но почему то кажется что условие задачи не удастся придумать, чтоб таким способом решить...
All_ex, да я так в целом написал особо не вникая в условие То есть не обращал внимания на то, что у Пети не менее одного рубля иначе он не смог бы дать ни рубля и что у него не менее `n` рублей иначе он не смог бы их дать, в целом условие `y>0` не должно усложнить задачу если сделать проверку я подумал

p.s. а как прийти к исходной системе, если мы знаем, что из неё вытекает `x=3y+4n` и `(x-3y)(x-3)+4y=0` ?

[Груша Вильямс]

Всё, придумал:
И Петя и Женя имеют по целому числу рублей. Петя сказал: "Если ты выкинешь `3` рубля, то у меня будет в `n` раз больше рублей, чем у тебя". Женя сказала: "Если я отдам тебе `n` рублей, то у меня будет в `3` раза больше рублей, чем у тебя".
Предположив, что все эти высказывания истины и что `n` является натуральным числом, укажите все возможные значения `n`.

Хотя ерунда всё равно выходит `4n^2=1`, эх, так и не спас метод)

[All_ex]

После указания Дилетант на мою ошибку, я досчитал...
Получилось четыре набора `(n; x; y)`...
`(1; 11; 5)` - правда фраза "в 1 раз больше" смущает...
`(2; 7; 5)`
`(3; 6; 6)`
`(7; 5; 11)`

Груша Вильямс, я сильно не вчитывался в Ваше решение... и посему не понял откуда у Вас получилось такое уравнение - `(x-3y)(x-3)+4y=0`...
Если взять и подставить полученные решения в это уравнение, то верного равенства не получим...

[Груша Вильямс]

All_ex, да я `n` просто выразил
`{(n=(y+3)/(x-3)),(n=(3y-x)/4):}`, `(3y-x)(x-3)=4(y+3)`, `(x-3)(x-3y)+4(y+3)=0` (ага 12 пропустил)), из условия `4(y+3)` положительно, значит `(x-3)(x-3y)` отрицательно, парабола ветви вверх, корни есть, но не знаем, что больше `3` или `3y`, узнаём что `3y` из `x=3y-4n` (второе уравнение) и поэтому всё плохо, тк если бы он был меньше `3`, то сразу следовало бы `y=1`, вот и вся идея в принципе. И собственно интересно можно ли придумать подобную задачу, чтоб так решалась или нет...

p.s. кстати когда читаю подобные задачи автоматически вспоминается эта у Арнольда "У Маши для покупки букваря не хватало 7 копеек, а у Миши - 1. Они сложились, чтобы купить один букварь на двоих, но денег все равно не хватило. Сколько стоит букварь?" и сразу хочется рассматривать случай когда у кого-то или всех денег нет