Уравнение

[wpoms.]

Решите в неотрицательных целых числах уравнение `2^x + 3^y = z^2`.

@темы: Комбинированные уравнения и неравенства, Теория чисел

Comments

[All_ex]

Одно решение угадывается - `(x;y;z) = (0;1;2)`... а вот есть ли другие.... (если бы знал теорию чисел, то, наверное, ответил бы)...

[Вилл в носочках]

еще, как минимум, (x,y,z) = (3,0,3)

[VEk]

(4;2;5) тоже угадывается сразу.

[Ak-sakal]

Всё решение расписывать долго. По крайней мере то, которое я предлагаю.
Вам нужно проверить "нулевые" решения (одно предложено выше).
Потом доказать леммы:
1) Нечётные степени двойки при делении на три дают остаток 2
2) Чётные степени двойки при делении на 3 дают в остатке 1.
3) Квадрат натурального числа при делении на 3 даёт в остатке только 1 или 0.
Сделать вывод о чётности степени двойки в вашем уравнении. Перенести эту степень направо, и разложить разность квадратов на множители.
Потом придется разбираться, в каких случаях каждый из полученных множителей представляет из себя степень тройки. Стоит посмотреть на сумму множителей и доказать, что возможны только граничные варианты, когда один из множителей равен 1.
Дальше я не расписывал, но кажется, что основные сложности решения уже пройдены. Правда, не добравшись до конца, нельзя с уверенностью утверждать, что решений бесконечно много. Может быть и нет.

[Вилл в носочках]

и еще 2^4 + 3^2 = 5^2.

Я думаю, тут должно решение найтись где-то на следующем пути:
(случай равенства x или у нулю рассмотреть отдельно)
z^2 - 2^x = 3^y , значит z^2 - 2^x = 0(mod 3)
2^x при нечетных x = 2 (mod 3), но сравнение z^2=2(mod 3) неразрешимо. Значит x не может быть нечетным.
2^x при четных x = 1 (mod 3), и тогда z^2=1(mod 3) => z = 3m+-1

перепишем уравнение как 4^x + 3^y = z^2

z^2 -3^y =4^y, значит z^2-3^y=0(mod 4)
3^y при нечетных y = 3 (mod 4), но сравнение z^2=3(mod 4) неразрешимо, значит y не может быть нечетным
3^y при четных y = 1 (mod 4), z^2=1(mod 4) => z = 4k+-1

перепишем уравнение как (2^x)^2 + (3^y)^2 = z^2

[Вилл в носочках]

собственно, если довести решение Ak-sakal до конца, учитывая, что у тройки тоже четная степень, получится, что решение (без нулей) единственное - (4,2,5)

[Epygraph]

При `x=0` получается `3^y=(z-1)(z+1)`, где сомножители справа равны единице или степени тройки. Разность `(z+1)-(z-1)=2`, следовательно, `z-1=1`, `z=2`, `y=2`.

При `y=0` получается `2^x=(z-1)(z+1)`, где сомножители справа равны единице или степени двойки. Разность `(z+1)-(z-1)=2`, следовательно, `z-1=2`, `z=3`, `x=3`.

При `x>0,y>0` из чисел вида `z=6n+r,0\le r<6` заведомо не подходят числа с `r=0,2,3,4`. Можно считать, что остаются числа вида `z=6n+\pm 1`. Теперь из соотношения `2^x+(4-1)^y=(6n \pm 1)^2` вытекает, что `y` - четное число, `y=2k`. Следовательно, `2^x=(z-3^k)(z+3^k)`, где сомножители справа равны единице или степени двойки. Разность `(z+3^k)-(z-3^k)=2\cdot 3^k`, следовательно, `z-3^k=2`, `z+3^k=2(1+(4-1)^k)`.

При четном `k` последний множитель является числом вида `2\cdot (2m+1), m\neq 0`, т.е. в этом случае решений нет.

При нечетном `k` последний множитель является числом вида `4\cdot (4m+k)`, т.е. в этом случае`m=0`, `k=1`. Таким образом, `z=5`, `y=2`, `x=4`.