Упорядоченные пары чисел

[wpoms.]

Дано натуральное число `N`. Ровно `2005` упорядоченных пар `(x,y)` натуральных чисел удовлетворяют равенству `1/x+1/y=1/N`. Докажите, что `N` является квадратом натурального числа.

@темы: Теория чисел

Comments

[VEk]

Хорошая задача для тренировки по С6.

[Груша Вильямс]

У меня такое выходит... Если уравнению удовлетворяет пара `(x,y)`, то ему удовлетворяет и пара `(y,x)`, то есть `2004` пары у нас вылетают (если все `x!=y`), значит должна быть ещё пара `(x,x)`, тогда `2/x=1/N`, `N=x/2`, `x=2^k`.

[Груша Вильямс]

`k` - нечетное натуральное число. По идее мы можем взять `2005` одинаковых пар нечетных чисел...то есть этому равенству бесконечно много пар натуральных чисел удовлетворяет, или имеется ввиду если есть пары `(1,2)`, `(3,1)` то должны быть пары `(1,3)`,`(1,1)`,`(2,3)`,`(3,2)` ?

[VEk]

Груша Вильямс сведите все к уравнению `(N-x)(N-y)=N^2` и воспользуйтесь формулой количества делителей числа.

[Груша Вильямс]

VEk, спасибо!

`2005=401*5`, тк множителя два, то `N-x=p_1^k` и `N-y=p_2^l`, где `p_1,p_2` - простые числа, тогда `k=404, l=4` либо `k=4, l=404`.
Получаем
`p_1^404*p_2^4=(p_1^202*p_2^2)^2=N^2`
либо
`p_1^4*p_2^404=(p_1^2*p_2^202)^2=N^2`.
Что и требовалось доказать

[Груша Вильямс]

VEk, понять такую штуку не могу, вот по моим соображениям, описанным в первых двух комментариях, следует, что `x=2^k`,`N=2^(k-1)`, то есть `N` - степень двойки. Но если это так, то тогда только `p_1` должно быть, а у нас `p_1` и `p_2`... как так?

[VEk]

тк множителя два, то и ,

Вот это не обязательно. Возможно, что каждый из сомножителей в левой части уравнения содержит оба простых множителя.
По-поводу Ваших первых комментариев, честно говоря, не разбирался. Да и сегодня некогда посмотреть, только если завтра, или в субботу.

[Груша Вильямс]

VEk, да, точно, тогда всё равно при произведении приводим к общему основанию и получится то же самое)
Спасибо! Буду ждать субботы Кратко так: должна быть пара из равных чисел -> `N=2^(k-1)`-> один простой множитель, но мы то знаем что их два. Вот вся суть моего парадокса.