01:05 

Планиметрия с комбинаторикой

wpoms.
Step by step ...
Найдите количество различных (попарно неравных) треугольников с целыми длинами сторон, периметр которых равен 2012.

@темы: Комбинаторика, Планиметрия

Комментарии
2012-12-17 в 18:08 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Рассмотрим треугольники со сторонами `a <= b <= c, \ \ a + b+ c = 2012`...

Очевидно, что меньшая сторона может принимать значения `1 <= a <= [2012/3] = 670`...
При каждом `a` получаем, что `b + c <= 2012 - a`, то есть возможные значения второй стороны удовлетворяют неравенству `a <= b <= [{2012-a}/2]`... при этом третья сторона определяется однозначно...

Таким образом, общее число треугольников равно
`N = sum_{a=1}^{670} ([{2012-a}/2] - a) = sum_{a = 2*k-1, \ k=1}^{335} ([{2012-2*k+1}/2] - 2*k +1) + sum_{a = 2*k, \ k=1}^{335} ([{2012-2*k}/2] - 2*k) =`
`= sum_{k=1}^{335} { ((1006 - k) - 2*k +1) + ((1006 - k) - 2*k) } = sum_{k=1}^{335} (2013 - 6*k) = 2013*{336*335}/2 - 6*{335*336*671}/6 =` `2013*118*335 - 335*336*671 = 335*118*(2013-1342) = 335*118*671`

Ну, как-то так...

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная