Подмножества

[wpoms.]

Множество действительных чисел произвольным образом разделили на два непересекающихся подмножества. Докажите, что для каждой пары натуральных чисел `(m, n)` существуют действительные числа `x < y < z`, принадлежащие одному из подмножеств, для которых `m*(z-y) = n*(y-x)`.

@темы: Теория чисел

Comments

[Груша Вильямс]

Множество действительных чисел произвольным образом разделили на два непересекающихся подмножества. то есть множество можеть быть любое, например (0;100).
`x,y,z` лежат в этом множестве, а `m` и `n` могут и не принадлежать этому множеству, я правильно понимаю?
Если так, то разобъем на 2 - (0;50) и (50;100) и выберем `48<49<50`, тогда `n=m`, а это уже не для каждой пары...

[All_ex]

Груша Вильямс, то есть множество можеть быть любое, например (0;100). - скорее всего имелось ввиду, что `RR = A uu B, \ \ A nn B = emptyset` ...

[Груша Вильямс]

All_ex, нда, условие мудрёное, я бы попробовал с натуральным множеством вначале если б понимал о чем речь вообще...
Пусть `NN = A uu B`, `x,y,z` - лежат именно в одном подмножестве, например, в `A`, я так понял. Так как для каждой пары `m` и `n` доказать равенство, то разбил бы на три случая: пара лежит в множестве `A`, в другом множестве, `m` в одном, `n` в другом. Но, с другой стороны, множество задается перечислением элементов и мы в любом случае можем сделать так, что `m,n,x,y,z` лежат в одном и том же множестве, а если так, то зачем изначальное множество надо было вообще разделять на два подмножества?
Если множество натуральное, то задача видится такой:
Докажите, что для каждой пары натуральных чисел `(m;n)` найдутся натуральные числа ` x < y < z ` такие что ` m(z-y) = n(y-x) `.
Тогда вроде и доказывать нечего, всегда найдутся такие `x,y,z` что `z-y=n` и `y-x=m`.
То же самое видится и для действительных чисел...

[All_ex]

Груша Вильямс, всегда найдутся такие `x,y,z` что `z-y=n` и `y-x=m`. - а Вы уверены, что всегда пара `(m; n)` лежит а одном подмножестве?...

[Груша Вильямс]

All_ex, теперь понял условие, не уверен, там произвольным образом разделили, т.е. все варианты придется рассмотреть...

p.s. на первый взгляд кажется, что утверждение, которое надо доказать, неверное, а вот контрпример даже на натуральных придумать не удается.

[Груша Вильямс]

"Класс — термин, употребляемый в теории множеств для обозначения произвольных совокупностей множеств, обладающих каким-либо определенным свойством или признаком."
В принципе равенство `m*(z-y) = n*(y-x)` можно считать свойством

[All_ex]

Груша Вильямс, Класс — термин, употребляемый в теории множеств - а где в условии говорится про классы?...

[Груша Вильямс]

All_ex, нигде, если класс это совокупность каких-то непересекающихся множеств + свойство, отсюда делаю вывод, что если как-то разделили множество действительных чисел, то получим, что множество `A=K_a+K_b`, где классы `K_a` и `K_b` - могут быть любые, как множество будем делить. А между элементами классов или класса есть эквивалентности всякие, через которые можно определить какому классу они принадлежат. Но тут все равно комбинаторика высвечивается, либо в `K_a` элемент `m`, либо в `K_b`, тоже самое для `n`. Вобщем тоже ничего не дает, но как вариант.