Неравенство

[wpoms.]

Докажите, что для всех положительных действительных чисел `x`, `y` и `z` выполнено неравенство `4(x + y + z)^3 > 27(x^2y + y^2z + z^2x)`.

@темы: Доказательство неравенств

Comments

[Epygraph]

Пусть `x` меньшее из `x,y,z`, т.е. `y=x+a`, `z=x+b`, где `a,b\ge 0`. Тогда `4(x+y+z)^3-27(x^2y+y^2z+zx^2)=27x^3+27x^2a+27x^2b+9xa^2+18xab+9*xb^2+4a^3-15a^2b+12ab^2+4b^3`.
Достаточно показать, что `4a^3-15a^2b+12ab^2+4b^3\ge 0` при `a,b\ge 0`.
При `a=0` получается `4b^3\ge 0`.
При `a\neq 0` при `t=b/a` получается `a^3(4t^3-15t^2+12t+4)=a^3\cdot 4(t+1/4)(t-2)^2\ge 0`.