Система уравнений

[wpoms.]

Найдите все натуральные решения `x`, `y`, `z` системы уравнений `x + y - z = 12` и `x^2 + y^2 - z^2 = 12`.

@темы: Системы НЕлинейных уравнений

Comments

[Дилетант]

М.б. можно как-то проще, чем у меня получилось.
`x + y - z = 12`
`x^2 + y^2 - z^2 = 12`

`x - z = 12 - y`
`x^2 - z^2 = 12 - y^2`

`(x - z)(x+z) = 12 - y^2`
Отсюда
`x+z=(12-y^2)/(12-y)=(y^2-12)/(y-12)=(y+12)+132/(y-12)`

`y-12` является делителем `132`.
`132=1*2*2*3*11`.
Тогда все кандидаты на роль `y`:
13, 14, 15, 16, 18, 23, 24, 34, 45, 56, 78, 144 (если ничего не пропустила).
Но так как х и у здесь симметричны, то это же и кандидаты на роль х.
1) y=13, x=78, z=79; двойственная тройка: x=13, y=78, z=79;
2) y=14, x=45, z=47; x=14, y=45, z=47;
3) y=15, x=34, z=37; x=15, y=34, z=37;
4) y=16 => x+z=61, 2x+4=61 - нет реш.
5) y=18, x=23, z=29; x=18, y=23, z=29;
6) y=24 - нет реш.
7) y=56 - нет реш.
8) y=144 - нет реш.

[All_ex]

По хорошему надо ещё рассмотреть случаи `y = 11; 10; 9; 8; 6; 1`...

[Дилетант]

All_ex, да, это конечно мой косяк. "Интуитивно" это достаточно понятно, а писать долго было... Хотя `y=1` надо было конечно отдельно рассмотреть.
Итак.
`x+z=(12-y^2)/(12-y)`
Поскольку `x, y, z` — натуральные, то
`(12-y^2)/(12-y)>0`
Отсюда
1) `{(12-y^2>0), (12-y > 0):}`

2) `{(12-y^2 < 0), (12-y < 0):}`
Второй случай рассмотрен выше.

Т.е. из чисел `y = 11; 10; 9; 8; 6; 1` нам подходит только 1.

Для `y=1` имеем:
`x+z=1` Если мы считаем, что 0 не натурален, то тогда здесь уже можно остановиться. Если же 0 натуральное число, то продолжим.
`{(x - z = 11), (x+z=1):}`
Нет натуральных решений.