среднее значение

[wpoms.]

Множество `ZZ(m, n)` состоит из всех целых чисел `N`, которые состоят из `m*n` цифр, среди которых `n` единиц, `n` двоек, `n` троек, ..., `n` `m`-ок. Для каждого `N in ZZ(m, n)`, определим `d(N)` как сумму из модулей разности соседних разрядов, например, `122313 in ZZ(3, 2) \ \ => \ \ d(122313) = 1 + 0 + 1 + 2 + 2 = 6`. Найти среднее значение арифметическое `d(N)` всевозможных чисел `N in ZZ(m, n)`.

@темы: Комбинаторика

Comments

[Alidoro]

Опять некорректная формулировка. По-русски «среднее значение» не означает «среднее арифметическое».

[All_ex]

Умаялся, но какой-то ответ получился...

мой вариант...

`d(N)` вычисляется как сумма из `(m*n-1)`-го слагаемого...
Выпишем все такие суммы для всех чисел из `ZZ(m, n)` ... и сложим отдельно первые слагаемые всех сумм, вторые слагаемые, и так далее... Нетрудно понять, что получим `(m*n-1)` одинаковых сумм...

Каждая выписанная сумма состоит из модулей разности пары цифр... при этом разные цифры могут быть выбраны одинаковым числом способов... число пар одинаковых цифр не интересует, поскольку разность нулевая и в среднем арифметическом не скажется на значение числителя...

Посмотрим сколько раз и какие значения может принимать разности для пары `bar(ab)`: `1` - `(m-1)` раз, `2` - `(m-2)` раза, ... `(m-1)` - `1 = m-(m-1)` раз.
Вычислим их сумму: `1*(m-1) + 2*(m-2) + ldots + (m-1)*[m-(m-1)] = (1 + 2 + ldots + (m-1))*m + (1^2 + 2^2 + ldots + (m-1)^2) = {(m-1)*m^2}/2 + {(m-1)*m*(2m-1)}/6 = {m*(m-1)^2}/3`

Итого, `sum_{N in ZZ(m,n)} {m*(m-1)^2}/3 * K_{ab}* (m*n-1)`, где `K_{ab} = { (n*m-2)! }/{ (n!)^{m-2} * ((n-1)!)^2 }` - количество выбора числа `bar(ab)` из различных цифр, имеющихся во множестве `ZZ(m, n)`...
`K_{N} = { (n*m)! }/{ (n!)^m }` - общее количество чисел множества `ZZ(m, n)`...

И, наконец, `bar(d(N)) = {n*(m^2-1)}/3`

Ну, объяснение может путанное, но пытался вкратце...