Неравенство

[wpoms.]

Докажите, что для положительных действительных чисел `a`, `b`, `c` верно неравенство `(a^2 + b^2)^2 >= (a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)`.

@темы: Доказательство неравенств

Comments

[All_ex]

Понятно, что если одно из чисел больше суммы других, то справа стоит отрицательное число... неравенство верно...
Если справа положительное выражение, то числа являются длинами сторон некоторого треугольника... и справа стоит выражение `16*S_{Delta}`... (по формуле Герона)...
То есть неравенство примет вид `a^2 + b^2 >= 4*S_{Delta} = 2*a*b*sin(phi)`... а для таких частей неравенства есть промежуточное значение `2*a*b`...

[Гость]

Для All_ex

1) Если справа положительное выражение, то числа являются длинами сторон некоторого треугольника...
Не обязательно! Вот контрпример: `a=b=c=-1`.

2) Если `a`, `b`, `c` - это длины сторон некоторого треугольника, то `(a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)=16*(S_{Delta})^2`.

[Гость]

Для All_ex

Хотя по условию задачи `a>0`, `b>0`, `c>0`.
Тогда Ваше утверждение "Если справа положительное выражение, то числа являются длинами сторон некоторого треугольника..." будет верно.

и справа стоит выражение `16*S_{Delta}`... (по формуле Герона)...

квадрат площади Вы, скорее всего, пропустили случайно.
А вообще Ваша идея решения, All_ex, очень красива.

[All_ex]

Гость, квадрат площади Вы, скорее всего, пропустили случайно. - по невнимательности...