00:43 

Касание сфер

wpoms.
Step by step ...

Пусть `B_1, ... , B_n` - единичные сферы в пространстве, каждая из которых касается внешним образом ровно двух других. Пусть `C_1,..., C_n` - точки касания сфер, пусть `P` - точка, расположенная вне всех этих сфер. Обозначим через `t_i` длину касательной из точки `P` к сфере `B_i` (`1 <= i <= n`) . Докажите, что произведение `t_i` не превосходит произведения расстояний `PC_i`.


@темы: Стереометрия

Комментарии
2013-06-25 в 15:54 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Рассмотрим две соседние касающиеся сферы ... пусть точки `O_1, O_2` - центры сфер... точка `C` - точка их касания...

Поскольку `P` внешняя точка, то длины касательных равны `t_{1,2}^2 = PO_{1,2}^2 -1`...
`PC` - медиана треугольника `PO_1O_2`, следовательно, `PC^2 = {2*PO_1^2 + 2*PO_2^2 - O_1O_2^2}/4 = {t_1^2 + t_2^2}/2 >= sqrt{t_1^2*t_2^2} = t_1*t_2`...
Осталось перемножить такие неравенства по всем парам касающихся сфер (вспомнить, что каждая сфера касается двух других) и вычислить корень из полученного неравенства....

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная