С Новым Годом!

[wpoms.]

Пусть `a`, `b` и `c` - положительные действительные числа. 1) Докажите, что `4(a^3 + b^3) >= (a + b)^3`. 2) Докажите, что `9(a^3 + b^3 + c^3) >= (a + b + c)^3`.

@темы: Доказательство неравенств

Comments

[Alidoro]

1) Без ограничения общности предполагаем `a>=b` или `a=b+t`, `t>=0`. Имеем
`2bt^2+t^3>=0`;
`b^3+3b^2t+3bt^2+t^3+b^3>=b^3+2b^2t+bt^2+bt^2+b^3+b^2t`;
`(b+t)^3+b^3>=(b+t)^2b+(b+t)b^2`;
`a^3+b^3>=a^2b+ab^2`; `3a^3+3b^3>=3a^2b+3ab^2`;
`4(a^3+b^3)>=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3`; `4(a^3+b^3)>=(a+b)^3`;

[rom7]

Либо так:
4(a^3 + b^3) >= (a + b)^3
4(a+b)(a^2-ab+b^2) - (a+b)^3 >=0
4(a+b)(3a^2+3b^2-6ab) >=0
3(a+b)(a-b)^2 >=0 при любых положит. а и b

[VEk]

Вообще это частный случай неравенства Йенсена: Для выпуклой функции `f(x)=x^3, x >=0` и любых `x_1, x_2` из указанной области справедливо неравенство `f((x_1+x_2)/2) <=1/2*(f(x_1)+f(x_2))`.
Про неравенство Йенсена можно почитать ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%...

[Alidoro]

VEk, Да, не увидел.
===
Для решения второй задачи применяем такое воплощение неравенства Йенсена: `f((x_1+x_2+x_3)/3) <=1/3*(f(x_1)+f(x_2)+f(x_3))`