Комментарии
2012-06-03 в 02:45 

25 IrMO, Saturday, 12 May 2012
First Paper
Time allowed: Three hours.

1. Пусть C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} и S = {4, 5, 9, 14, 23, 37}.
Найдите два множества A и B, обладающие следующими свойствами
(a) `A nn B = emptyset`.
(b) `A uu B = C`.
(c) Сумма любых двух различных элементов множества A не принадлежит S.
(d) Сумма любых двух различных элементов множества B не принадлежит S.


2. A, B, C и D - точки расположенные в указанном порядке на окружности с центром в точке K. AB _|_ BC и BC _|_ CD. X - точка окружности расположенная между A и D. Прямые AX и CD пересекаются в точке E, а прямые DX и BA - в точке F. Докажите, что окружность, описанная около треугольника AXF касается окружности описанной около треугольника DXE и что общая касательная проходит через K.

3. Найдите все многочлены f такие, что они имеют неотрицательные целые коэффициенты и f(1) = 8 и f(2) = 2012.

4. Существует бесконечное множество треугольников, обладающих следующими свойствами:
(a) длины их сторон выражаются взаимно простыми целыми числами,
(b) только один из их углов равен 60 градусам.
Длины сторон одного из таких треугольников равны 5, 7 и 8. Найдите еще два.

5. (a) Покажите, что если x и y являются положительными действительными числами, то `(x + y)^5 ge 12xy(x^3 + y^3)`.
(b) Докажите, что константа 12 - лучшая из возможных. Другими словами, докажите, что для любого K > 12 существуют положительные действительные числа x и y такие, что `(x + y)^5 < Kxy(x^3 + y^3)`.

2012-06-03 в 02:49 

Белый и пушистый (иногда)
Спасибо!

2012-06-03 в 02:49 

25 IrMO
Saturday, 12 May 2012
Second Paper
Time allowed: Three hours.

6. Пусть S(n) - сумма цифр в десятичной записи числа n. Например, S(2012) = 2+0+1+2 = 5. Докажите, что не существует натуральных n для которых n - S(n) = 9990.

7. Рассмотрим треугольник ABC у которого `|AB| != |AC|`. Биссектриса угла CAB пересекает окружность описанную около `\triangle ABC` в точках A и D. Окружность с центром D и радиусом |DC| пересекает прямую AC в точках C and B'. Прямая BB' пересекает окружность описанную около `\triangle ABC` в точках B и E. Докажите, что B' является ортоцентром `\triangle AED`.

8. Пусть a, b, c - положительные числа. Докажите, что `(a/b+b/c+c/a+1)^2\ge(2a+b+c)(2/a+1/b+1/c)` и равенство достигается в том и только том случае, когда a = b = c.

9. Пусть x > 1 является целым числом. Докажите, что `x^5 + x + 1` имеет хотя бы два различных простых делителя.

10. Пусть n - натуральное число. Четыре мышки сидят в угловых точках квадратной доски размером n×n, разделенной на n x n единичных клеток.

Мышки передвигаются по следующим правилам:

(a) За один ход мышки перемещаются на единичное расстояние в горизонтальном или вертикальном направлении. Единичные отрезки, по которым передвигаются мышки, назовем edge доски.

(b) Edge доски не может быть использован дважды в одном и том же направлении.

(c) В каждый момент времени не более двух мышек одновременно могут располагаться в одной и той же точке доски.

Мышки хотят организовать свое перемещение так, чтобы каждый edge доски был использован дважды (не обязательно одной и той же мышкой) и каждая мышки закончила бы свое движение в стартовой точке. Определите, с доказательством, значения n для которых мышки могут добиться своей цели.

2012-06-03 в 07:21 

Trotil
9. Пусть x > 1 является целым числом. Докажите, что `x^5 + x + 1` имеет хотя бы два различных простых делителя.

Что тут доказывать?
x^5 + x + 1= (x^2+x+1)(x^3-x^2+1)
А уравнение x^2+x+1 = x^3-x^2+1 не имеет целых корней, кроме 0.

2012-06-03 в 07:58 

Белый и пушистый (иногда)
Trotil, но это же задачи для школьников, а не для взрослых. А для школьников далеко не все так очевидно.

2012-06-03 в 19:39 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
mpl, спасибо!
некоторые задачи и впрямь несложные.

2013-07-01 в 20:58 

wpoms.
Step by step ...
1st Irish Mathematical Olympiad 30 April 1988,
Paper 1


1. К пирамиде с квадратным основанием, все ребра которой имеют длину `2`, приклеен - у них общая треугольная грань - правильный тетраэдр, длины ребер которого так же равны `2`. Найдите сумму длин ребер получившегося многогранника.

2. `A`, `B` , `C`, `D` - вершины квадрата и `P` - точка на дуге `CD` описанной окружности. Докажите, что `|PA|^2 - |PB|^2 = |PB|*|PD| - |PA|*|PC|`.
обсуждение

3. Дан вписанный в окружность треугольник `ABC`, точка `E` является серединой дуги `BC`, не содержащей точку `A`. `ED` - диаметр окружности. Покажите, что величина угла `DEA` равна половине разности величин углов `B` и `C`.
обсуждение

4. Математическому барану сообщили значения длин двух сторон (`b`, `c`), и угла (`A`) треугольника `ABC` и попросили найти длину стороны `a`. Он стал вычислять длину с помощью теоремы косинусов `a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(A)`, при этом он "прологарифмировал" равенство и получил `log a^2 = log b^2 + log c^2 - log(2*b*c*cos(A))`. Далее он верно вычислил значение правой части равенства, нашел значение `a^2` и успешно завершил решение задачи. Что можно сказать о треугольнике `ABC`?
обсуждение

5. У Гостеприимного Патрика есть семь друзей и он приглашает на обед каждый вечер ровно трёх друзей семь дней подряд. Сколькими способами можно делать это при условии, что каждый из семи друзей должен быть приглашен по крайней мере один раз и состав гостей всегда разный?
обсуждение

6. Имеется `n` блоков, вес каждого из них выражается целым числом фунтов и он меньше `n` фунтов. Общий вес этих `n` блоков меньше `2n` фунтов. Докажите, что блоки могут быть разделены на две группы так, чтобы общий вес блоков в одной из групп был равен точно `n` фунтов.
обсуждение

7. Функция `f`, определенная на множестве действительных чисел `RR`, имеет горизонтальную хорду длины `a > 0`, если существует действительное число `x`, такое что `f(a+x) = f(x)`. Покажите, что `f(x) = x^3 - x` (`x in RR`) имеет горизонтальную хорду длины `a` тогда и только тогда, когда `0 < a <= 2`.
обсуждение

8. Дана последовательность ненулевых действительных чисел `x_1`, `x_2`, `x_3`, ... удовлетворяющая `x_n = (x_{n-2}x_{n-1})/(2x_{n-2}-x_{n-1})`, `n = 3, 4, 5, ...`
Определите необходимые и достаточные условия для `x_1`, `x_2`, при выполнении которых `x_n` будет целым числом для бесконечного количества значений `n`.
обсуждение

9. Год `1978` был "своеобразным" в том смысле, что сумма чисел, образованных первыми двумя и последними двумя его цифрами, равна числу, которое образовано его средними двумя цифрами, то есть `19 + 78 = 97`. Найдите предыдущий и следующий "своеобразные" года.
обсуждение

10. Пусть `0 <= x <= 1`. Покажите, что для любого натурального числа `n` выполняется неравенство `(1 + x)^n >= (1 - x)^n + 2*n*x*(1 - x^2)^{(n-1)/2}`.
обсуждение

11. Если выполнение операции деления невозможно, то можно использовать метод итераций для вычисления приближенного значения числа `1//a`, `a > 0`:
`x_{k+1} = x_{k}*(2 - a*x_{k}), k = 0, 1, 2, ...`,

где `x_{0}` - некоторое начальное значение. Найдите ограничения, если они существуют, для начальных значений `x_{0}`, которые позволяют получить последовательность сходящуюся к `1//a`.
обсуждение

12. Докажите, что если `n` натуральное число, то справедливо равенство `sum_{k=1}^{n} cos^4 ((kpi)/(2n+1)) = (6n-5)/(16)`.
обсуждение


Paper 2


1. Треугольники `ABG` и `AEF` лежат в одной плоскости. Имеют место условия:
(a) `E` является серединой `AB`;
(b) точки `A`, `G` и `F` лежат на одной прямой;
(c) `BG` и `EF` пересекаются в точке `C`;
(d) `|CE| = 1` и `|AC| = |AE| = |FG|`.
Пусть `|AG| = x`. Покажите, что `|AB| = x^3`.
обсуждение

2. Даны `n` целых чисел `x_1, ... , x_n` и натуральное число `p`, `p < n`. Обозначим
`S_1 = x_1 + x_2 + ... + x_p`;
`T_1 = x_{p+1} + x_{p+2} + ... + x_n`;
`S_2 = x_2 + x_3 + ... + x_{p+1}`;
`T_2 = x_{p+2} + x_{p+3} + ... + x_n + x_1`;
`...`
`S_n = x_n + x_1 + ... + x_{p-1}`;
`T_n = x_{p} + x_{p+2} + ... + x_{n-1}`;
Для `a = 0, 1, 2, 3` и `b = 0, 1, 2, 3` пусть `m(a, b)` будет равно количеству чисел `i`, `1 <= i <= n`, для которых `S_i` дает остаток `a` при делении на `4` и `T_i` дает остаток `b` при делении на `4`. Покажите, что `m(1, 3)` и `m(3, 1)` дают одинаковый остаток при делении на `4` тогда и только тогда, когда `m(2, 2)` четно.
обсуждение

3. Маршруты городских автобусов проложены так, что
(a) на каждом маршруте имеется ровно `11` остановок;
(b) всегда есть возможность доехать от одной остановки до другой;
(c) любые два маршрута имеют ровно одну общую остановку.
Сколько автобусных маршрутов в городе?
обсуждение

2013-08-13 в 19:10 

wpoms.
Step by step ...
2nd Irish Mathematical Olympiad 29 April 1989,
Paper 1


1. Четырехугольник `ABCD` вписан, как показано на рисунке, в квадрат, площадь которого равна 1. Докажите, что `2 <= |AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 <= 4`.

обсуждение

2. Магическим квадратом размера `3 times 3` с магическим числом `m` называется матрица размером `3 times 3`, сумма элементов которой в каждом ряду, в каждой строке и на каждой диагонали равна `m`. Покажите, если квадрат состоит из натуральных чисел, то `m` делится на `3`, и каждый элемент квадрата не превосходит `2n - 1`, где `m = 3n`.
[Пример магического квадрата с `m = 6` - `((2, 1, 3), (3, 2, 1),(1, 3, 2))`.]
обсуждение

3. Функция `f`, определенная на множестве натуральных чисел `NN`, удовлетворяет следующим условиям:
(a) `f(1) = 1`;
(b) `f(2n) = f(n)` и `f(2n + 1) = f(2n) + 1` для всех `n in NN`.
Найдите наибольшее значение функции на отрезке `[1; 1989]`, а так же количество точек отрезка, в которых оно принимается.
обсуждение

4. Заметим, что `12^2 = 144` оканчивается на две четверки и `38^2 = 1444` оканчивается на три четверки. Найдите наибольшее количество неравных нулю одинаковых цифр, на которые оканчивается квадрат натурального числа.
обсуждение

5. Пусть `x = a_1a_2...a_n` является `n`-значным числом, где `a_1, a_2, ... , a_n` (`a_1 != 0`) - его цифры. `n` чисел `x_1 = x = a_1a_2...a_n`, `x_2 = a_na_1...a_{n-1}`, `x_3 = a_{n-1}a_na_1...a_{n-2}`, `x_4 = a_{n-2}a_{n-1}a_na_1...a_{n-3}`, `...` , `x_n = a_2a_3...a_na_1` получены из числа `x` циклической перестановкой его цифр. [Например, если `n = 5` и `x = 37001`, то полученными в результате циклической перестановки цифр числами будут `x_1 = 37001`, `x_2 = 13700`, `x_3 = 01370` (`= 1370`), `x_4 = 00137` (`= 137`), `x5 = 70013`.]
Найдите, с доказательством,
(i) наименьшее натуральное число `n` для которого существует `n`-значное число `x`, такое что все `n` чисел, полученных циклической перестановкой цифр из числа `x`, делятся на `1989`;
(ii) наименьшее натуральное число `x`, обладающее этим свойством.
обсуждение

Paper 2


1. Даны прямая `L`, точка `A`, не лежащая на ней, и ненулевое действительное число `k`. Для произвольной точки `P`, лежащей на прямой `L`, рассмотрим точку `Q`, лежащую на прямой `AP`, для которой `|AP|*|AQ| = k^2`. Найдите геометрическое место точек `Q`.
обсуждение

2. Каждому из `n` членов клуба сообщили только некоторую, разную для разных членов клуба, часть информации. Они могут делиться этой информацией, но, по соображениям безопасности, только следующим образом: любые два члена клуба могут связаться друг с другом по телефону, но во время телефонного разговора только один из них может говорить и он может сообщить собеседнику всю имеющуюся у него информацию. Определите минимальное количество телефонных звонков, которые нужно сделать для распространения всей информации всем членам клуба.
обсуждение

3. Точка `P` лежит внутри треугольника `ABC`, при этом расстояния от точки `P` до `A`, `B`, `C` равны `x`,`y`,`z`, соответственно, а расстояния до сторон `BC`, `CA`, `AB` равны соответственно `p`, `q`, `r`. Докажите, что
`xyz >= 8pqr`,

и что равенство достигается для равностороннего треугольника `ABC`.
обсуждение

4. Пусть `a` является положительным действительным числом и пусть `b = root 3 {a + sqrt(a^2+1)} + root 3 {a - sqrt(a^2+1)}`.
Докажите, что `b` является натуральным числом тогда и только тогда, когда `a` является натуральным числом вида `1/2 n(n^2 + 3)` для некоторого натурального числа `n`.
обсуждение

5. (i) Докажите, что если `n` является натуральным числом, то
`((2n),(n)) = ((2n)!)/(n!)^2`

является натуральным числом, которое делится на все простые числа `p` из интервала `n < p <= 2n`, и что
`((2n),(n)) < 2^{2n}`.

(ii) Для положительного действительного числа `x` обозначим через `pi(x)` количество простых чисел `p <= x`. Например, `pi(10) = 4` так как есть четыре простых числа, не превосходящих `10`: `2`, `3`, `5` и `7`. Докажите, что для натуральных чисел `n >= 3` выполняется:
(a) `pi(2n) < pi(n) + (2n)/(log_2(n))`;
(b) `pi(2^n) < (2^{n+1) log_2(n-1))/n`;
(c) Выведите, что для всех действительных чисел `x >= 8 \ \ => \ \ pi(x) < (4x log_2(log_2(x)))/(log_2(x))`.
обсуждение

2013-09-10 в 19:03 

wpoms.
Step by step ...
3rd Irish Mathematical Olympiad, 5 May 1990
Paper 1


1. Для данного натурального числа `n` найдите количество прямоугольников на плоскости, координаты вершин которых являются целыми числами в интервале от `0` to `n` включительно и стороны которых параллельны осям координат.
обсуждение

2. Последовательность простых чисел `a_n` определена следующим образом: `a_1 = 2` и, для всех `n >= 2`, `a_n` равно наибольшему простому делителю `a_1a_2 ...a_{n-1} + 1`. Докажите, что `a_n != 5` для всех `n`.
обсуждение

3. Существует ли функция `f : NN -> NN` (где `NN` обозначает множество натуральных чисел) такая, что `f (n) = f (f (n - 1))+ f (f (n + 1))` для всех натуральных чисел `n >= 2`.
обсуждение

4. Действительное число `x` удовлетворяет всем неравенствам `2^k < x^k + x^{k+1} < 2^{k+1}` для `k =1, 2,..., n`. Чему равно наибольшее возможное значение `n`?
обсуждение

5. Дан треугольник `ABC` с прямым углом `A`. Пусть `X` будет основанием перпендикуляра, опущенного из `A` на `BC` и пусть `Y` является серединой `XC`. На продолжении `AB` взята точка `D`, для которой `|AB| = |BD|`. Докажите, что `DX` является перпендикуляром к `AY`.
обсуждение

6. Пусть `n` - натуральное число, для которого уравнение
`x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + ... + x_{n-1}x_n + x_nx_1 = 0`

имеет решение, где все `x_i` принимают значение `1` или `-1`. Докажите, что `n` делится на `4`.
обсуждение


Paper 2


1. Докажите, что для всех натуральных чисел `n >= 3` выполняется неравенство `1/3^3 + 1/4^3 + ... + 1/n^3 < 1/12`.
обсуждение

2. `p_1 < p_2 < ... < p_15` - арифметическая прогрессия с разностью `d`, состоящая из простых чисел. Докажите, что `d` делится на `2`, `3`, `5`, `7`, `11` и `13`.
обсуждение

3. `t` - действительное число. Обозначим
`a_n = 2cos(t/2^n) - 1`, `n = 1, 2, 3, ...`

и определим `b_n` как произведение `a_1a_2a_3 ... a_n`. Найдите формулу для `b_n` не использующую произведение `n` множителей и выведите, что
`lim_{n->oo} b_n = (2 cos t + 1)/3` .

обсуждение

4. Пусть `n = 2k - 1`, где целое число `k >= 6`. Обозначим через `T` множество всех `n`-кортежей `x = (x_1, x_2,..., x_n)`, где `x_i` равно `0` или `1` при `i = 1, 2,..., n`.
Для `x = (x_1, ... , x_n)` и `y = (y_1, ... , y_n)` из `T` обозначим через `d(x, y)` количество целых `j`, `1 <= j <= n`, таких, что `x_j != y_j`. (Например, `d(x, x) = 0`).
Предположим, что существует подмножество `S` множества `T`, содержащее `2^k` элементов, обладающее следующим свойством: для любого элемента `x` из `T` существует единственный `y` из `S` для которого `d(x, y) <= 3`. Докажите, что предположение верно только при `n = 23`.
обсуждение

2013-10-15 в 22:30 

wpoms.
Step by step ...
4th Irish Mathematical Olympiad, 4 May 1991
Paper 1


1. Как построить треугольник `ABC` по трём точкам `X`, `Y` и `Z`, которые являются, соответственно, центром описанной окружности треугольника `ABC`, серединой `BC` и основанием высоты, опущенной из `B` на `AC`.
обсуждение

2. Найдите все многочлены `f (x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n`, удовлетворяющие уравнению `f (x^2) = (f (x))^2` для всех действительных чисел `x`.
обсуждение

3. Докажите, что, начиная с `4`, каждое натуральное число может быть получено последовательным применением в некотором порядке конечного числа операций `f`, `g` и `h`.
обсуждение

4. Восемь политиков, оказавшись на необитаемом острове 1 января 1991, приняли решение о создании Парлимента. Они установили следующие правила его посещения:
(a) Каждый день по крайней мере один человек должен присутствовать в Парлименте.
(b) Ни в какие два дня в Парлименте не должна присутствовать одна и та же группа людей.
(c) Среди присутствующих в день `N` должен присутствовать по крайней мере один человек, который присутствовал в день `K` для каждого `K < N`, (`K >= 1`) .
Какое наибольшее количество дней может действовать Парлимент до нарушения одного из этих правил?
обсуждение

5. Найдите все многочлены `f (x) = x^n + a_1*x^{n-1} + ... + a_n`, обладающие следующими свойствами:
(a) все коэффициенты `a_1, a_2,..., a_n` принадлежат множеству `{ -1,1};
(b) все корни уравнения `f(x) = 0`являются действительными числами.
обсуждение

Paper 2


1. Сумма двух квадратов последовательных натуральных чисел может быть квадратом: например, `3^2 + 4^2 = 5^2`.
(a) Докажите, что сумма квадратов `m` последовательных натуральных чисел не может быть квадратом для `m = 3,4, 5, 6`.
(b) Найдите пример одиннадцати последовательных натуральных чисел таких, что сумма их квадратов будет квадратом натурального числа.
обсуждение

2. Пусть `a_n = (n^2+1)/(sqrt(n^4+4))`, `n = 1,2,3,...` и пусть `b_n` будет равно произведению `a_1*a_2*a_3*...*a_n`. Докажите, что `b_n/sqrt(2) = (sqrt(n^2+1))/(sqrt(n^2 + 2n + 2))` и `1/(n^3 + 1) < b_n/sqrt(2) - n/(n +1) < 1/(n^3)` для всех натуральных `n`.
обсуждение

3. Дан треугольник `ABC` и прямая `L`, проходящая через `C` параллельно `AB`. Биссектриса угла `A` пересекает сторону `BC` в точке `D` и прямую `L` в точке `E`, биссектриса угла `B` пересекает сторону `AC` в точке `F` и прямую `L` в точке `G`. Если `|GF| = |DE|`, то докажите, что `|AC| = |BC|`.
обсуждение

4. Обозначим через `mathbb{P}` множество положительных рациональных чисел. Отображение `f : mathbb{P} -> mathbb{P}` удовлетворяет условиям
`f(x) + f(1/x) = 1` и `f (2x) = 2f (f (x))`

для всех `x in mathbb{P}`. Найдите, с доказательством, явное выражение `f (x)` для всех `x in mathbb{P}`.
обсуждение

5. Пусть непустое множество `S` - подмножество множества рациональных чисел `QQ`, обладает следующими свойствами:
(a) `0` не принадлежит `S`;
(b) для любых `s_1, s_2` из `S` рациональное число `{s_1}/{s_2}` тоже принадлежит `S`;
(c) существует ненулевое число `q in QQ setminus S`, обладающее таким свойством: любое ненулевое число из `QQ setminus S` можно представить в виде `q*s`, где `s` принадлежит `S`.
Докажите, что если `x in S`, то существуют `y,z in S`, для которых `x = y + z`.
обсуждение

2013-11-17 в 19:55 

wpoms.
Step by step ...
5th Irish Mathematical Olympiad 2 May 1992
Paper 1


1. Опишите в геометрических терминах множество точек `(x, y)` на плоскости, для которых `x` и `y` удовлетворяют условию `t^2 + yt + x > 0` для всех `t`, таких что `-1 <= t <= 1`.

2. Сколько упорядоченных троек действительных чисел `(x, y, z)` удовлетворяют системе уравнений: `x^2 + y^2 + z^2 = 9`, `x^4 + y^4 + z^4 = 33`, `xyz = -4` ?
обсуждение

3. Пусть `A` - непустое множество из `n` элементов. Найдите количество способов выбрать два подмножества `(B, C)` из `A`, такие, что `B` является непустым подмножеством `C`.
обсуждение

4. В треугольнике `ABC` точки `A'`, `B'` и `C'` лежат на сторонах противоположных вершинам `A`, `B` и `C`, соответственно, при этом прямые `A A'`, `B B'` и `C C'` пересекаются в одной точке. Докажите, что диаметр окружности, описанной около треугольника`ABC`, равен произведению `|AB'|*|BC'|*|CA'|` деленному на площадь треугольника `A'B'C'`.
обсуждение

5. Координаты вершин `A` и `B`треугольника `ABC` являются рациональными числами. Докажите, что координаты вершины `C` являются рациональными тогда и только тогда, когда `text{tg } A`, `text{tg } B` и `text{tg } C` являются рациональными числами.
обсуждение


Paper 2


1. Дано натуральное число `n > 2`. Пусть `m = sum k^3`, где сумма вычисляется по всем целым `k` (`1 <= k < n`) взаимно простым с `n`. Докажите, что `n` делит `m`.
обсуждение

2. Для натурального числа `a_1` образуем последовательность `a_1, a_2, a_3, ...` по следующему принципу: `a_k` равно произведению цифр числа `a_{k-1}` при `k >= 2`. Если для некоторого `k >= 1` `a_k` является однозначным числом, то `a_k` называется числовым корнем `a_1`. Легко проверить, что для каждого натурального числа существует единственный числовой корень. (например, если `a_1 = 24378`, то `a_2 = 1344`, `a_3 = 48`, `a_4 = 32`, `a_5 = 6`, и, таким образом, `6` является числовым корнем для `24378`.) Докажите, что числовой корень натурального числа `n` равен `1` тогда и только тогда, когда все цифры `n` равны `1`.
обсуждение

3. Пусть все корни кубического уравнения с действительными коэффициентами `az^3 + bz^2 + cz + d = 0 \ \ (a != 0)` лежат слева от мнимой оси в комплексной плоскости. Докажите, что `ab > 0`, `bc - ad > 0`, `ad > 0`.
обсуждение

4. Выпуклый пятиугольник обладает таким свойством: любая диагональ отсекает от него треугольник единичной площади. Найдите площадь пятиугольника.
обсуждение

5. Докажите, что для положительных действительных чисел `a_k` и `b_k` (`k =1, 2,..., n`) верно неравенство `root n {a_1a_2 ...a_n} + root n {b_1b_2 ... b_n} < = root n {(a_1 + b_1)(a_2 + b_2) ... (a_n + b_n)}`;
и что равенство достигается тогда и только тогда, когда `a_1/b_1 = a_2/b_2 = ... = a_n/b_n`.
обсуждение

2013-12-26 в 00:28 

wpoms.
Step by step ...
6th Irish Mathematical Olympiad 8 May 1993
Paper 1


1. Действительные числа `alpha`, `beta` удовлетворяют уравнениям
`alpha^3 - 3alpha^2 + 5alpha - 17 = 0`, `beta^3 - 3beta^2 +5beta +11 = 0`.

Найдите `alpha + beta`.
обсуждение

2. Натуральное число `n` называется "хорошим", если оно может быть представлено единственным образом как сумма `a_1 + a_2 + ... + a_k` и произведение `a_1*a_2* ... *a_k` некоторых `k >= 2` натуральных чисел `a_1,a_2,... ,a_k`. (Например, `10` является хорошим числом, так как `10 = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 5*2*1*1*1` и эти представления единственны.) Определите, в терминах простых чисел, какие натуральные числа являются "хорошими".
обсуждение

3. Прямая `l` касается окружности `S` в точке `A`. Точки `B` и `C` расположены с разных сторон от `A` на прямой `l`. Через `B` и `C` проведены касательные к `S`, пересекающиеся в точке `P`. Найдите геометрическое место точек `P`, получаемое при перемещении `B`, `C` по `l` при условии, что произведение `|AB|*|AC|` является константой.
обсуждение

4. Даны действительные числа `a_0, a_1,..., a_{n-1}` (`n >= 1`) и многочлен `f (x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0`, для которого `|f(0)| = f(1)` и каждый корень `alpha` которого является действительным числом, удовлетворяющим неравенству `0 < alpha < 1`. Докажите, что произведение корней многочлена не превосходит `1//2^n`.
обсуждение

5. Для комплексного число `z = x + iy` (`x,y` действительные) обозначим `P(z)` соответствующую точку `(x, y)` на плоскости. Предположим, что `z_1, z_2, z_3, z_4, z_5, alpha` ненулевые комплексные числа такие, что:
(a) `P(z_1), P(z_2), P(z_3), P(z_4), P(z_5)` - вершины выпуклого пятиугольника `Q`, содержащего внутри себя начало координат `O`;
(b) `P(alpha z_1), P(alpha z_2), P(alpha z_3), P(alpha z_4)` и `P(alpha z_5)` находятся внутри `Q`.
Пусть `alpha = p + iq`, где `p` и `q` действительные числа. Докажите, что `p^2 + q^2 <= 1` и что `p + q * text{tg }(pi//5) <= 1`.
обсуждение


Paper 2


1. На плоскости даны точки `P_1`, `P_2`, `P_3`, `P_4`, `P_5` с целыми координатами. Докажите, что есть по крайней мере одна пара `(P_i,P_j)` с `i != j`, такая что отрезок `P_iP_j` содержит точку `Q` с целыми координатами.
обсуждение

2. Даны `2n` действительных чисел `a_1, a_2, ... , a_n`, `b_1, b_2, ... , b_n`, где `a_1, a_2, ... , a_n` различны. Предположим, что существуют действительное число `alpha` для которого произведение
`(a_i + b_1)(a_i + b_2) ... (a_i + b_n)` равно `alpha` для `i = 1, 2,..., n`. Докажите, что существует действительное число `beta` для которого произведение
`(a_1 + b_j)(a_2 + b_j) ... (a_n + b_j)` равно `beta` для `j = 1 , 2, . . . , n`.
обсуждение

3. Для неотрицательных целых чисел `n`, `r` биномиальным коэффициентом `((n),(r))` обозначается количество способов выбрать `r` объектов из `n` объектов. Принимается, что `((n),(0)) = 1` и `((n),(r)) = 0` при `n < r`. Докажите равенство
`sum_{d=1}^oo ((n - r + 1),(d)) ( (r - 1),(d-1)) = ((n),(r))`

для всех целых числе `n` и `r`, для которых `1 <= r <= n`.
обсуждение

4. Дано действительное число `x`, `0 < x < pi`. Докажите, что для всех натуральных чисел `n` сумма `sin x + (sin(3x))/3 + (sin(5x))/5+ ... + (sin((2n - 1)x))/(2n-1)` будет положительной.
обсуждение

5. (a) Прямоугольник `PQRS`, длины сторон которого выражаются натуральными числами `l`, `m`, разделен на `l*m` единичных квадратов прямыми, параллельными `PQ` и `QR`. Докажите, что диагональ `PR` пересекает `l + m - d` этих квадратов, где `d` - наибольший общий делитель `(l, m)` чисел `l` и `m`.
(b) Прямоугольный параллелепипед с сторонами `l`, `m`, `n`, где `l`, `m`, `n` - натуральные числа, разделен на `l*m*n` единичных кубов плоскостями, параллельными его граням. Сколько кубов пересекает самая длинная диагональ параллелепипеда?
обсуждение

2014-02-19 в 01:49 

wpoms.
Step by step ...
7th Irish Mathematical Olympiad 7 May 1994
Paper 1


1. Даны натуральные числа `x`, `y` (`y > 3`), удовлетворяющие равенству `x^2 + y^4 = 2[(x - 6)^2 + (y + 1)^2]`. Докажите, что `x^2 + y^4 = 1994`.
обсуждение

2. Точки `A`, `B`, `C` лежат на одной прямой, точка `B` находится между точками `A` и `C`. Построены равносторонние треугольники `ABD`, `BCE`, `CAF` (точки `D`, `E` лежат с одной стороны от прямой `AC`, точка `F` находится с противоположной стороны. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников являются вершинами равностороннего треугольника. Докажите, что точка пересечения медиан этого треугольника лежит на прямой `AC`.
обсуждение

3. Найдите (с доказательством) все действительные многочлены `f`, удовлетворяющие равенству `f (x^2) = f (x)f (x - 1)`, для всех действительных `x`.
обсуждение

4. Рассмотрим множество всех матриц размером `m times n`, все элементы которых равны `0` или `1`. Найдите количество матриц, у которых количество единиц в каждой строке и в каждом столбце четно.
обсуждение

5. Функция `f (n)` определена на множестве натуральных чисел, при этом `f (1) = 2` и `f (n + 1) = (f (n))^2 - f (n) + 1`, `n =1, 2, 3,...` Докажите, что для всех целых `n > 1` верно неравенство `1-1/(2^(2^(n-1))) <1/(f(1)) + 1/(f(2))+ ... + 1/(f(n)) < 1 - 1/(2^(2^n))`.
обсуждение

Paper 2


1. Последовательность `x_n` определяется правилами: `x_1 = 2` и `nx_n = 2(2n - 1)x_{n-1}`, `n = 2, 3, .. .` Докажите, что `x_n` является целым для всех натуральных `n`.
обсуждение

2. Различные между собой действительные числа `p`, `q`, `r` удовлетворяют равенствам:
`q = p(4 - p)`,
`r = q(4 - q)`,
`p = r(4 - r)`.
Найдите все возможные значения `p + q + r`.
обсуждение

3. Докажите, что для всех целых `n > 1` выполняется неравенство `n ((n + 1)^{2//n} - 1) < sum_{i=1}^n (2i+1)/(i^2) < n (1 - n^(-2//(n-1))) + 4`.
обсуждение

4. Различные между собой действительные числа `w`, `a`, `b` и `c` обладают свойством, что существуют действительные числа `x`, `y` и `z`, удовлетворяющие уравнениям:
`x + y + z =1`,
`xa^2 + yb^2 + zc^2 = w^2` ,
`xa^3 + yb^3 + zc^3 = w^3`,
`xa^4 + yb^4 + zc^4 = w^4`,
Выразите `w` через `a`, `b` и `c`.
обсуждение

5. Квадрат разбивается на `n` выпуклых многоугольников. Чему равно максимальное количество сторон в получившейся фигуре.
обсуждение

2014-04-17 в 18:39 

wpoms.
Step by step ...
8th Irish Mathematical Olympiad 6 May 1995
Paper 1


1. В классе учатся `n^2` школьников. Каждую неделю все школьники принимают участие в викторине. Учитель распределяет их на `n` команд по `n` игроков в каждой. В течении скольких недель возможно проводить викторины при условии, чтобы любые два школьника, которые были членами одной команды, не играли вместе в одной команде в последующие недели. Докажите, что по прошествии не более чем `n + 2` недель некоторая пара школьников примет участие в игре в составе одной команды по крайней мере два раза.
обсуждение

2. Определите, с доказательством, все целые значения `a`, для которых уравнение `x^2 + a*x*y + y^2 = 1` имеет бесконечно много различных целых решений `x`, `y`.
обсуждение

3. Точка `X` лежит на прямой между принадлежащими ей точками `A` и `D`. на плоскости выбрана точка `B`, для которой `/_ABX` больше `120^@`. Точка `C` лежит на отрезке `BX`. Докажите неравенство `2|AD| >= sqrt(3)*(|AB| + |BC| + |CD|)`.
обсуждение

4. Рассмотрим следующую игру для одного игрока, играемую на оси `x`. Для каждого целого `k` обозначим `X_k` точку с координатами `(k, 0)`. Во время игры диски сложены в некоторых точках `X_k`. Выполняя ход игрок выбирает точку `X_j`, в которой находятся по крайней мере два диска, после этого он берет два диска из `X_j` и переносит один из них в точку `X_{j-1}` и другой в `X_{j+1}`.
В начале игры `2n +1` дисков находятся в точке `X_0`. Игра продолжается до тех пор, пока остается возможность сделать очередной ход. Докажите, что после `n(n + 1)(2n + 1)//6` ходов продолжение игры невозможно и что по завершении игры один диск находится в каждой из позиций:
`X_{-n}, X_{-n+1}, ..., X_{-1}, X_{0}, X_{1}, ..., X_{n-1}, X_{n} `.

обсуждение

5. Найдите, с доказательством, все действительнозначные функции `f`, которые удовлетворяют уравнению `x*f(x)- y*f(y) = (x - y)*f(x + y)` для всех действительных чисел `x`, `y`.
обсуждение

Paper 2


1. Докажите неравенство `n^n <= (n!)^2 <= [(n + 1)*(n + 2)//6]^n`, для всех натуральных `n`.
обсуждение

2. Возьмем комплексные числа `a`, `b` и `c` таких, что все три корня уравнения
`z^3 + a*z^2 + b*z + c = 0`

удовлетворяют равенству `|z| = 1` (| | обозначает абсолютное значение). Докажите, что все три корня уравнения
`w^3 + |a|*w^2 + |b|*w + |c| = 0`

также удовлетворяют равенству `|w| = 1`.
обсуждение

3. Квадрат `S` состоит из всех точек `(x, y)` плоскости, удовлетворяющих неравенству `0 <= x, y <= 1`. Для каждого действительного числа `t` из интервала `(0; 1)` пусть `C_t` обозначает множество всех точек `(x, y) in S`, для которых `(x, y)` лежит на прямой, соединяющей точки `(t; 0)` и `(0; 1 - t)`, или выше ее. Докажите, что точки, общие для всех `C_t`, это точки `S`, которые находятся на кривой `sqrt(x) + sqrt(y) = 1` или лежат выше ее.
обсуждение

4. Нам даны три точки на плоскости `P`, `Q`, `R`. Известно, что существует треугольник `ABC`, у которого точка `P` является серединой стороны `BC`, `Q` принадлежит стороне `CA`, `|CQ|//|QA| = 2`, `R` принадлежит стороне `AB`, `|AR|//|RB| = 2`. Найдите и обоснуйте способ построения треугольника `ABC`.
обсуждение

5. Для всех целых `n`, представимых в виде `n = p_1*p_2*p_3*p_4`, где `p_1`, `p_2`, `p_3`, `p_4` различные простые числа, пусть `d_1 = 1 < d_2 < d_3 < ... < d_15 < d_16 = n` - шестнадцать натуральных делителей числа `n`. Докажите, что если `n < 1995`, то `d_9 - d_8 != 22`.
обсуждение

2014-06-19 в 22:26 

wpoms.
Step by step ...
9th Irish Mathematical Olympiad, 4 May 1996
Paper 1


1. Пусть `f(n)` обозначает для всех натуральных `n` наибольший общий делитель `n! + 1` и `(n + 1)!`. Найдите и обоснуйте выражение для вычисления `f(n)` для всех `n`.
обсуждение

2. Пусть `S(n)` обозначает сумму цифр натурального числа `n` в десятичной системе счисления. Докажите, что для всех натуральных `n` выполняется неравенство `S(2*n) <= 2*S(n) <= 10*S(2*n)`. Докажите, что существует натуральное число `n`, для которого верно равенство `S(n) = 1996*S(3*n)`.
обсуждение

3. Пусть `K` обозначает множество всех действительных чисел `x`, принадлежащих отрезку `[0; 1]`. Функция `f` отображает множество `K` на множество действительных чисел `RR` и при этом
(a) `f (1) = 1`;
(b) `f (x) >= 0` для всех `x in K`;
(c) Если `x`, `y` и `x + y` принадлежат множеству `K`, то `f (x + y) >= f (x) + f (y)`.
Докажите, что `f (x) <= 2*x` для всех `x in K`.
обсуждение

4. Точка `F` является серединой стороны `BC` треугольника `ABC`. Равнобедренные прямоугольные треугольники `ABD` и `ACE` построены внешним образом на сторонах `AB` и `AC` с прямыми углами `D` и `E`, соответственно. Докажите, что `DEF` является равнобедренным прямоугольным треугольником.
обсуждение

5. Покажите, и обоснуйте, как разделить квадрат на не более чем пять частей, из которых можно сложить три квадрата различного размера.
обсуждение

Paper 2


1. Последовательность Фибоначчи `F_0, F_1, F_2,...` определяется следующим образом: `F_0 = 0`, `F_1 = 1` и, для всехl `n >= 0`, `F_{n+2} = F_n + F_{n+1}`. (`F_2 = 1`, `F_3 = 2`, `F_4 = 3`, `F_5 = 5`, `F_6 = 8` ...)
Докажите, что
(a) Утверждение "`F_{n+k} - F_n` делится на `10` для всех натуральных `n`" истинно при `k = 60`, но ложно для всех натуральных `k < 60`.
(b) Утверждение "`F_{n+t} - F_n` делится на `100` для всех натуральных `n`" истинно при`t = 300`, но ложно для всех натуральных `t < 300`.
обсуждение

2. Докажите, что неравенство `2^(1/2) * 4^(1/4) * 8^(1/8) * ... * (2^n)^(1/(2^n)) < 4` выполняется для всех натуральных `n`.
обсуждение

3. Докажите, что для простого числа `p` и натуральных чисел `a` и `n` из `2^p + 3^p = a^n` следует, что `n = 1`.
обсуждение

4. В остроугольном треугольнике `ABC` точки `D`, `E`, `F` являются основаниями перпендикуляров, проведенных из вершин `A`, `B`, `C` к сторонам `BC`, `CA`, `AB`, соответственно. Точки `P`, `Q`, `R` - основания перпендикуляров, опущенных из `A`, `B`, `C` на прямые `EF`, `FD`, `DE`, соответственно. Докажите, что прямые `AP`, `BQ`, `CR` пересекаются в одной точке.
обсуждение

5. На прямоугольной доске размером `5 xx 9` играют в игру. Сначала некоторое количество дисков помещают случайным образом в квадраты доски, при этом в каждый квадрат помещают не более одного диска. Ход заключается в перемещении всех дисков из квадратов, в которых они находились, в другие квадраты, с соблюдением следующих правил:
(a) каждый диск можно переместить на один квадрат вверх, вниз, влево или вправо относительно того квадрата, в котором он находится;
(b) если диск переместили вверх или вниз в рамках одного хода, то следующим ходом его нужно будет перемещать влево или вправо;
(c) если диск переместили влево или вправо в рамках одного хода, то следующим ходом его нужно будет перемещать вверх или вниз;
(d) по завершении перемещения всех дисков в рамках одного хода ни один квадрат не должен содержать более одного диска.
Игра завершается, если нет возможности переместить все диски в рамках одного хода по указанным выше правилам. Докажите, что если в начале игры на доске разместили `33` диска, то игра в конце концов завершится. Докажите, что можно разместить на доске в начале игры `32` диска таким образом, чтобы игра могла продолжалась бесконечно.
обсуждение

2014-08-28 в 23:02 

wpoms.
Step by step ...
10th Irish Mathematical Olympiad, 10 May 1997
Paper 1


1. Найдите, с доказательством, все пары целых чисел `(x, y)`, удовлетворяющих уравнению `1 + 1996*x + 1998*y = x*y`.
обсуждение

2. Точка `M` находится внутри равностороннего треугольника `ABC`. Точки `D`, `E`, `F` являются основаниями перпендикуляров, опущенных из `M` на `BC`, `CA`, `AB`, соответственно. Найдите геометрическое место всех точек `M`, для которых `/_FDE` является прямым.
обсуждение

3. Найдите все многочлены `p`, удовлетворяющие уравнению `(x - 16)*p(2*x) = 16*(x - 1)*p(x)` для всех `x`.
обсуждение

4. Пусть `a`, `b` и `c` - неотрицательные действительные числа, для которых выполняется неравенство `a + b + c >= a*b*c`. Докажите, что `a^2 + b^2 + c^2 >= a*b*c`.
обсуждение

5. Пусть `S` будет множеством всех нечетных целых чисел, больших единицы. Для каждого `x in S` обозначим `delta(x)` единственное целое число, удовлетворяющее неравенству `2^(delta(x)) < x < 2^(delta(x)+1)`.
Для `a,b in S` определим операцию `a otimes b = 2^{delta(a)-1}*(b - 3) + a`. [Например, для вычисления `5 otimes 7` заметим, что `2^2 < 5 < 2^3`, поэтому `delta(5) = 2`, и тем самым `5 otimes 7 = 2^(2-1)(7 - 3) + 5 = 13`. Аналогично `2^2 < 7 < 2^3`, поэтому `delta(7) = 2` и `7 otimes 5 = 2^(2-1)(5 - 3) + 7 = 11`].
Докажите, что для всех `a, b, c in S` выполняется
(a) `a otimes b in S` и
(b) `(a otimes b) otimes c = a otimes ( b otimes c)`.
обсуждение

Paper 2


1. Для натурального числа `n` обозначим `sigma(n)` сумму всех натуральных чисел, которые делят `n`. [Например, `sigma(3) = 1 + 3 = 4`, `sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6= 12`, `sigma(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6+12 = 28`].
Назовем `n` обильным, если `sigma(n) > 2n`. (Так, например, `12` - обильно).
Даны натуральные `a`, `b` и известно, что `a` обильно. Докажите, что `a*b` тоже обильно.
обсуждение

2. Четырехугольник `ABCD` описан около окружности `Gamma` (т.е., каждая сторона четырехугольника касается `Gamma`.)
Пусть `/_A = /_B = 120^@`, `/_D = 90^@` и длина `BC` равна `1`. Найдите, с доказательством, длину `AD`.
обсуждение

3. `A` - подмножество `{0, 1, 2, 3,..., 1997}`, состоящее более чем из `1000` элементов. Докажите, что либо `A` содержит степень `2` (число, которое можно представить в виде `2^k`, где `k` - неотрицательное целое), либо существуют два различных элемента `a, b in A`, сумма которых `a + b` является степенью `2`.
обсуждение

4. Множество `S` состоит из натуральных чисел `n`, удовлетворяющих условиям:
(i) `n` является `1000`-значным числом;
(ii) все цифры `n` нечетны, и
(iii) модуль разности между соседними цифрами `n` равен `2`.
Определите количество различных элементов в `S`.
обсуждение

5. Пусть `p` - простое число, `n` - натуральное число и `T = {1, 2, 3,..., n}`. Назовем `n` `p`-разбиваемым, если существует `p` непустых подмножеств `T_1`, `T_2`, ... , `T_p` множества `T`, удовлетворяющих условиям:
(i) `T = T_1 uu T_2 uu ...uu T_p`;
(ii) `T_1,T_2,... ,T_p` - неперескающиеся (т.е. `T_i nn T_j` - пустое множество для всех `i, j`, `i != j`), и
(iii) сумма элементов `T_i` одна и та же для `i = 1, 2,... ,p`.
[Например, , `5` является `3`-разбиваемым, т.к. можно выбрать множества `T_1 = {1, 4}`, `T_2 = {2, 3}`, `T_3 = {5}`, удовлетворяющие (i), (ii) and (iii). Аналогично, `6` является `3`-разбиваемым, т.к. можно выбрать множества `T_1 = {1, 6}`, `T_2 = {2, 5}`, `T_3 = {3,4}`, удовлетворяющие (i), (ii) and (iii).]
(a) Предположим, что `n` является `p`-разбиваемым. Докажите, что `p` делит `n` или `n + 1`.
(b) Предположим, что `n` делится на `2*p`. Докажите, что `n` является `p`-разбиваемым.
обсуждение

2014-12-21 в 12:52 

wpoms.
Step by step ...
11th Irish Mathematical Olympiad, 9 May 1998
Paper 1


1. Покажите, что для ненулевых действительных чисел `x` выполняется неравенство `x^8 - x^5 - 1/x + 1/(x^4) >= 0`.
обсуждение

2. Расстояния от точки `P`, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его вершин равны `3`, `4` и `5`. Найдите площадь треугольника.
обсуждение

3. Покажите, что целое число вида `bar{xyxy}` в системе счисления с основанием `10`, где `x` и `y` - некоторые цифры, не может быть кубом целого числа.
Найдите наименьшее основание системы счисления `b > 1`, для которого существует куб целого числа вида `bar{xyxy}` в системе счисления с основанием `b`.
обсуждение

4. Покажите, что диск радиуса `2` может быть покрыт семью (возможно перекрывающимися) дисками радиуса `1`.
обсуждение

5. Действительное число `x` удовлетворяет условиям: `(x^2 - x)` - целое число и, для некоторого `n >= 3`, `(x^n - x)` - целое число. Докажите, что `x` - целое число.
обсуждение


Paper 2


1. Найдите все натуральные `n`, имеющие ровно `16` натуральных делителей `d_1, d_2, ..., d_16`, удовлетворяющих условиям `1 = d_1 < d_2 < ... < d_16 = n`, `d_6 = 18` и `d_9 - d_8 = 17`.
обсуждение

2. Докажите, что для положительных действительных чисел `a`, `b`, `c` выполняются неравенства
(a) `9/(a + b + c) <= 2(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a))`,

и
(b) `1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) <= 1/2 (1/a + 1/b + 1/c)`.

обсуждение

3. `NN` - множество натуральных чисел.
(a) Докажите, что `NN` может быть представлено как объединение трех взаимно не пересекающихся множеств, таких что, если `m, n in NN` и `|m - n| = 2` или `5`, то `m` и `n` принадлежат разным множествам.
(b) Докажите, что `NN` может быть представлено как объединение четырёх взаимно не пересекающихся множеств, таких что, если `m, n in N` и `|m - n| = 2`, `3` или `5`, то `m` и `n` принадлежат разным множествам. Покажите, что невозможно представить `NN` как объединение трех взаимно не пересекающихся множеств, обладающих этим свойством.
обсуждение

4. Последовательность действительных чисел `x_n` определяется рекурсивно: `x_0`, `x_1` - произвольные положительные действительные числа и `x_{n+2} = (1+x_{n+1})/(x_n)`, `n = 0,1, 2,. ..`
Найдите `x_{1998}`.
обсуждение

5. Длины сторон треугольника `ABC` целые, `/_A = 2/_B` и `/_C > 90^@`. Найдите минимально возможную длину его периметра.
обсуждение

2015-06-02 в 21:13 

wpoms.
Step by step ...
12th Irish Mathematical Olympiad, 8 May 1999

Paper 1


1. Найдите все действительные значения `x`, которые удовлетворяют неравенству `(x^2)/((x + 1 - sqrt(x+1))^2) < (x^2 + 3x + 18)/((x +1)^2)`.
обсуждение

2. Покажите, что в последовательности Фибоначчи есть число, которое делится на 1000.
[Последовательность Фибоначчи `F_n` определяется так: `F_0 = 0`, `F_1 = 1`, `F_n = F_{n-1} + F_{n-2}` для `n >= 2`. Последовательность начинается так: `0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...` ]
обсуждение

3. Точки `D`, `E` и `F` лежат на сторонах `BC`, `CA` и `AB`, соответственно, треугольника `ABC`. `AD` перпендикуляр к `BC`, `BE` биссектриса `/_B` и `F` середина `AB`. Докажите, что `AD`, `BE` и `CF` проходят через одну точку тогда и только тогда, когда `a^2(a - c) = (b^2 - c^2)(a + c)`, где `a`, `b` и `c` длины сторон `BC`, `CA` и `AB`, соответственно, треугольника `ABC`.
обсуждение

4. На квадратный пол, разделенный на `10000` квадратов (`100 times 100` квадратов - как большая шахматная доска), нужно уложить плитку. В наличии только прямоугольная плитка размером `1 times 3`, закрывающая точно три квадрата на полу.
(a) Докажите, что если не укладывать плитку в квадрат `2 times 2` в центре пола, то оставшаяся часть пола может покрыта имеющимися плитками.
(b) Если не укладывать плитку в квадрат размером `2 times 2` в углу пола, то докажите, что оставшаяся часть пола не может быть полностью покрыта этими плитками.
[Имеется достаточное количество плиток, плитки укладываются без перекрытия, плитки не могут развиваться на более мелкие части.]
обсуждение

5. Три действительных числа `a`, `b`, `c` (`a < b < c`) являются членами арифметической прогрессии, если `c - b = b - a`. Последовательность `u_n`, `n = 0,1, 2, 3,...` задается так: `u_0 =0`, `u_1 = 1` и, для всех `n >= 1`, `u_{n+1}` равно наименьшему натуральному числу, удовлетворяющему условиям `u_{n+1} > u_n` и `{u_0, u_1,..., u_n, u_{n+1}}` не содержит трех элементов, являющихся членами арифметической прогрессии. Найдите `u_100`.
обсуждение

Paper 2


1. Решите систему уравнений `{( y^2 = (x + 8)*(x^2 + 2) ), ( y^2 = (8 + 4*x)*y + 5*x^2 - 16*x - 16 ):}`
обсуждение

2. Функция `f : NN -> NN` (где `NN` обозначает множество натуральных чисел) удовлетворяет условиям
(a) `f(a*b) = f (a)*f(b)` если наибольший общий делитель `a` и `b` равен `1`,
(b) `f(p + q) = f(p) + f(q)` для всех простых чисел `p` и `q`.
Докажите, что `f(2) = 2`, `f(3) = 3` и `f(1999) = 1999`.
обсуждение

3. Сумма положительных действительных чисел `a`, `b`, `c` и `d` равна `1`. Докажите, что
`(a^2)/(a + b) + (b^2)/(b + c) + (c^2)/(c + d) + (d^2)/(d + a) >= 1/2`,

и что равенство достигается тогда и только тогда, когда `a = b = c = d = 1//4`.
обсуждение

4. Найдите все натуральные числа `m`, таких что четвертая степень количества натуральных делителей `m` равна `m`.
обсуждение

5. Дан выпуклый (не обязательно правильный) шестиугольник `ABCDEF`, `AB = BC`, `CD = DE`, `EF = FA` и `/_ABC + /_CDE + /_EFA = 360^@`. Докажите, что перпендикуляры из `A`, `C` и `E` к `FB`, `BD` и `DF`, соответственно, проходят через одну точку.
обсуждение

2015-11-17 в 21:19 

wpoms.
Step by step ...
13th Irish Mathematical Olympiad, 6 May 2000
Paper 1


1. Множество `S` состоит из чисел вида `a(n) = n^2 + n + 1`, где `n` натуральное число. Докажите, что произведение `a(n)*a(n + 1)` принадлежит `S` для всех натуральных чисел `n`. Приведите пример, с доказательством, пары чисел `s, t in S` таких, что `s*t notin S`.
обсуждение

2. Дан правильный пятиугольник `ABCDE` с длиной стороны `1`. Точка `F` делит `AB` на равные части, точки `G`, `H` лежат на сторонах `CD` и `DE`, соответственно, при этом `/_GFD = /_HFD = 30^@`. Докажите, что треугольник `GFH` равносторонний. Квадрат вписан в треугольник `GFH`, при этом одна сторона квадрата лежит на `GH`. Докажите, что длина `FG` равна `t = (2 * cos 18^@ * (cos 36^@)^2)/(cos 6^@)` и что длина стороны квадрата равна `(t*sqrt(3))/(2 + sqrt(3))`.
обсуждение

3. Дана функция `f(x) = 5*x^13 + 13*x^5 + 9*a*x`. Найдите наименьшее натуральное число `a`, для которого `65` делит `f(x)` для всех целых `x`.
обсуждение

4. Даны действительные числа `a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_M`. Назовем `{a_1, a_2, ..., a_M}` слабой арифметической прогрессией длины `M` если существуют действительные числа `x_0, x_1, x_2,..., x_M` и `d` для которых `x_0 <= a_1 < x_1 <= a_2 < x_2 <= a_3 < x_3 <= ... <= a_M < x_M` и для `i = 0, 1, 2,..., M - 1`, `x_{i+i} - x_i = d`, т.е. `{x_0, x_1,x_2,..., x_M}` является арифметической прогрессией.
(a) Докажите, что если `a_1 < a_2 < a_3`, то `{a_1, a_2, a_3}` является слабой арифметической прогрессией длины `3`.
(b) Пусть `A` является подмножеством `{0, 1, 2, 3,..., 999}` и содержит по крайней мере `730` элементов. Докажите, что `A` содержит слабую арифметическую прогрессию длины `10`.
обсуждение

5. Рассмотрим все параболы вида `y = x^2 + 2*p*x + q` (`p`,`q` действительные числа), которые пересекают оси `0x`и `0y`в трех различных точках. Обозначим `C_{p,q}` окружность, проходящую через точки пересечения параболы `y = x^2 + 2*p*x + q` с осями. Докажите, что все окружности `C_{p,q}` имеют общую точку.
обсуждение

Paper 2


1. Докажите, что для всех действительных чисел `x >= 0`, `y >= 0`, `x + y = 2` выполняется неравенство `x^2*y^2*(x^2 + y^2) <= 2`.
обсуждение

2. Четырехугольник `ABCD` вписан в окружность радиуса `R`. Обозначим длины сторон `ABCD` как `a`, `b`, `c`, `d` и пусть площадь `ABCD` равна `Q`. Докажите, что `R^2 =((a*b + c*d)*(a*c + b*d)*(a*d + b*c))/(16*Q^2)`. Докажите, что `R >= ((a*b*c*d)^(3/4))/(Q*sqrt(2))` и что равенство достигается тогда и только тогда, когда `ABCD` является квадратом.
обсуждение

3. Для всех натуральных чисел `n` найдите (с доказательством) все натуральные числа `m`, для которых существуют натуральные числа `x_1 < x_2 < ... < x_n`, удовлетворяющие равенству `1/(x_1)+2/(x_2)+ ... n/(x_n) = m`.
обсуждение

4. Докажите, что среди любых десяти последовательных целых чисел найдется одно число, которое будет взаимно простым с остальными числами. Например, рассмотрим числа `114`, `115`, `116`, `117`, `118`, `119`, `120`, `121`, `122`, `123`. Числа `119` и `121` будут взаимно просты с остальными числами. [Два целых числа `a`, `b` называются взаимно простыми если их наибольший общий делитель равен единице.]
обсуждение

5. Рассмотрим многочлен с неотрицательными действительными коэффициентами `p(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n`. Предположим, что `p(4) = 2` и `p(16) = 8`. Докажите, что `p(8) <= 4` и найдите, с доказательством, все такие многочлены, для которых `p(8) = 4`.
обсуждение

2016-03-17 в 21:31 

wpoms.
Step by step ...
14th Irish Mathematical Olympiad, 12 May 2001

Paper 1


1. Решите уравнение `2^n = a! + b! + c!` в натуральных числах `a`, `b`, `c` и `n`.
обсуждение

2. Дан треугольник `ABC`. Длины сторон `BC`, `CA`, `AB` равны `a`, `b`, `c`, соответственно. Точки `D`, `E` являются серединами сторон `AC`, `AB`, соответственно. Докажите, что `BD` перпендикулярен `CE` тогда и только тогда, когда `b^2 + c^2 = 5*a^2`.
обсуждение

3. Докажите, что если нечетное простое число `p` можно представить в виде `x^5 - y^5`, где `x`, `y` целые числа, то `sqrt((4*p + 1)/5) = (v^2 + 1)/2`, для некоторого нечетного числа `v`.
обсуждение

4. Докажите, что
(a) `(2*n)/(3*n + 1) <= sum_{k = n + 1}^{2*n} 1/k`,
(b) `sum_{k = n + 1}^{2*n} 1/k <= (3*n + 1)/(4*(n + 1))`,

для всех натуральных чисел `n`.
обсуждение

5. Докажите, что для действительных чисел `a`, `b` (`a*b > 0`) выполняется неравенство `root(3){(a^2b^2(a + b)^2)/4} <= (a^2 + 10ab + b^2)/12`. Определите, при каких условиях достигается равенство.
Докажите, как следствие или иным образом, что для всех действительных чисел `a`, `b` верно неравенство `root(3){(a^2b^2(a + b)^2)/4} <= (a^2 + ab + b^2)/3` Определите, при каких условиях достигается равенство.
обсуждение


Paper 2


1. Найдите наименьшее натуральное число `a`, для которого `2001` делит `55^n + a*32^n` для некоторого нечетного целого `n`.
обсуждение

2. Три обруча расположены концентрически (см. рисунок). На каждом обруче через равные промежутки нанесены 20 бусинок, `10` из которых черного и `10` белого цвета. На каждом обруче бусинки пронумерованы числами от `1` до `20` начиная снизу и в направлении против часовой стрелки. Мы говорим о совпадении в позиции `i` если все три бусинки в позиции `i` имеют один и тот же цвет. Мы можем перемещать все бусинки вокруг любого обруча (при этом нельзя нарушать порядок их следования друг за другом). Покажите, что возможно (вращением) найти конфигурацию в которой будет не менее `5` совпадений.

обсуждение

3. В остроугольном треугольнике `ABC` точка `D` является основанием перпендикуляра, опущенного из `A` на `BC`. Точка `P` лежит на отрезке `AD`. Прямые `BP` и `CP` пересекают `AC` и `AB` в точках `E` и `F`, соответственно. Докажите, что `AD` является биссектрисой угла `EDF`.
обсуждение

4. Найдите, с доказательством, все неотрицательные действительные числа `x`, для которых `root(3){13 + sqrt(x)} + root(3){13-sqrt(x)}` является целым числом.
обсуждение

5. Найдите, с доказательством, все функции `f` из множества натуральных чисел в себя, которые удовлетворяют равенству `f (x + f (y)) = f (x) + y` для всех натуральных чисел `x`,`y`.
обсуждение

2016-10-16 в 00:27 

wpoms.
Step by step ...
15th Irish Mathematical Olympiad
11 May 2002, Paper 1


1. В треугольнике `ABC` известны длины сторон `AB = 20`, `AC = 21` и `BC = 29`. Точки `D` и `E` лежат на отрезке `BC`, при этом `BD = 8` и `EC = 9`. Найдите угол `/_DAE`.
обсуждение

2. (a) Группа людей приняла участие в вечеринке. Каждый имеет не более трех знакомых в этой группе, если двое не знают друг друга, то у них есть общий знакомый в группе. Какое наибольшее количество людей могло принять участие в вечеринке?
(b) Если, дополнительно, в группе есть три человека, каждый из которых знаком с двумя другими, то чему равно наибольшее количество людей, которые могли принять участие в вечеринке?
обсуждение

3. Найдите все тройки натуральных чисел `(p, q, n)` (`p` и `q` простые), удовлетворяющие равенству `p*(p + 3) + q*(q + 3) = n*(n + 3)`.
обсуждение

4. Последовательность `a_1, a_2, a_3, a_4,...` определяется соотношениями `a_1 = 1`, `a_2 = 1`, `a_3 = 1` и `a_{n+1}*a_{n-2} - a_{n}*a_{n-1} = 2`, для всех `n >= 3`. Докажите, что `a_n` является натуральным числом для всех `n >= 1`.
обсуждение

5. Докажите, что для всех `0 < a, b, c < 1` верно неравенство `a/(1 - a) + b/(1 - b) + c/(1 - c) >= (3*root(3){a*b*c})/(1 - root(3){a*b*c})`. Определите, в каких случаях достигается равенство.
обсуждение


Paper 2


1. Таблица размером `3 times n` заполняется следующим образом: в первой строке записаны числа от `1` до `n`, упорядоченные по возрастанию слева направо. Вторая строка получена из первой циклическим сдвигом, то есть в этом ряду записаны числа `i, i + 1, . . . , n - 1, n, 1, 2, . . . , i - 1` для некоторого `i`. В третьей строке записаны в некотором порядке числа от `1` до `n`, при этом сумма чисел в каждой из `n` колонок одна и та же.
Для каких значений `n` возможно заполнение таблицы по указанным выше правилам? Для тех `n`, для которых это возможно сделать, определите количество различных способов заполнить таблицу.
обсуждение

2. Предположим, что `n` равно произведению различных простых чисел `a`, `b`, `c`, `d` таких, что:
(a) `a + c = d`;
(b) `a*(a + b + c + d) = c*(d - b)`;
(c) `1 + b*c + d = b*d`.
Найдите `n`.
обсуждение

3. Обозначим `QQ` множество рациональных чисел. Найдите все функции `f : QQ -> QQ`, для которых `f (x + f (y)) = y + f (x)`, для всех `x, y in QQ`.
обсуждение

4. Обозначим для всех действительных чисел `x` наибольшее целое число, меньшее или равное `x` как `lfloor x rfloor`. Пусть `alpha = 2 + sqrt(3)`. Докажите, что `alpha^n - lfloor alpha^n rfloor = 1 - alpha^{-n}`, для `n = 0,1, 2, .. .`
обсуждение

5. Дан треугольник `ABC`, длины сторон которого выражаются целыми числами. Вписанная в треугольник `ABC` окружность касается сторон `BC` и `AC` в точках `D` и `E`, соответственно. Пусть `-2 <= |AD|*|AD| - |BE|*|BE| <= 2`. Покажите, что `|AC| = |BC|`.
обсуждение

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная