Прямоугольный треугольник

[wpoms.]

Дан треугольник `ABC` с прямым углом `A`. Пусть `X` будет основанием перпендикуляра, опущенного из `A` на `BC` и пусть `Y` является серединой `XC`. На продолжении `AB` взята точка `D`, для которой `|AB| = |BD|`. Докажите, что `DX` является перпендикуляром к `AY`.

@темы: Планиметрия

Comments

[~ghost]

Спасибо ) задача интересная)
вроде несложно..) но решение, которое придумала, - какое-то "не очень красивое":
достаточно доказать, что угол `/_YAX` равен углу `/_YXM` ( где точка `M` - пересечение `AY` и прямой `DX`);
но чтобы доказать такое равенство углов ( `/_YAX = /_YXM`) — достраивала `XZ = AX` ( удваивала отрезок `AX` - за точку `X`),
и получала `ZD` || `CB` ( т.е. треугольник `Delta AZD` прямоугольный), и угол `/_ZDX = /_YXM`.. а про угол `ZDX` уже легче доказывать, что он равен углу `YAX` (можно записать `tg(/_YAX)` и `tg(/_ZDX)` - проверить, что выражения для этих тангенсов одинаковы..)

"вопрос" как сделать проще, красивее ? =)

[VEk]

Возможно векторное решение (так любимое некоторыми товарищами из-за C2), но это неинтересно.

А вот геометрическое решение. Треугольники `BAX` и `ACX` подобны. Пусть `Z` - середина отрезка `AX`, тогда `BZ || DX`. Применим поворотную гомотетию к треугольнику `BAX` (поворот относительно точки `X` на `-90^@` с коэффициентом гомотетии `k=(AX)/(BX)`). Получим, что точка `Z` перейдет в точку `Y`, поэтому `BZ _|_ AY`.

[~ghost]

Про векторы я тоже вспоминала - но получалось не лучше, чем то, что я написала выше ( и векторы в такой задаче - действительно не интересно..)
А гомотетия + поворот — это красиво ! ))