Равенство

[wpoms.]

Для всех натуральных чисел `n` найдите (с доказательством) все натуральные числа `m`, для которых существуют натуральные числа `x_1 < x_2 < ... < x_n`, удовлетворяющие равенству `1/(x_1)+2/(x_2)+ ... n/(x_n) = m`.

@темы: Теория чисел

Comments

[Гость]

Если `x_1,x_2,...,x_n` представляют собой арифметическую прогрессию с `x_1 = 1` и `d = 1`, тогда, очевидно, что `m = n `
Очевидно, что `AA n => m<=n`
Пусть `m = n-i`, где `i = 1,2...n-1`
Тогда, если `AA x_k | k in {1,2,...n-i-1} , x_k = k` и `AA x_k | k in {n-i,n-i+1,...n} , x_k = (n-i)*k` , что удовлетворяет условию `x_k < x_(k+1)` (при n>1, для случая n = 1, очевидно m = 1) мы получим, что `m = n-i`.
Действительно, сумма первых `n-i-1` слагаемых равна `n-i-1`, а последних `i+1` равна 1
Ответ: `m = {1,2...n}`