Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Сумма двух квадратов последовательных натуральных чисел может быть квадратом: например, `3^2 + 4^2 = 5^2`. (a) Докажите, что сумма квадратов `m` последовательных натуральных чисел не может быть квадратом для `m = 3,4, 5, 6`. (b) Найдите пример одиннадцати последовательных натуральных чисел таких, что сумма их квадратов будет квадратом натурального числа. |  |
-
-
21.10.2013 в 22:01(a)
Сумма трех последовательных квадратов есть `S_2(n + 3) - S_2 (n) = 3n^2 + 12n + 14 = 3(n^2 + 4 n + 4) + 2 \equiv 2\ \text{mod} 3`. `2` не является квадратичным вычетом по модулю `3`, поэтому `3n^2 + 12n + 14` не является полным квадратом.
Сумма четырех последовательных квадратов есть `S_2(n + 4) - S_2(n) = 4n^2 + 20n + 30 = (2n + 5)^2 + 5`, и отличается на `5` от некоторого квадрата, и единственно возможный вариант — `(2n + 5)^2 + 5 = 9` и `n \notin ZZ`.
Сумма пяти последовательных квадратов есть `S_2(n + 5) - S_2(n) = 5n^2 + 30n + 55 = 5 (n^2 + 6n + 11) = k^2`, и `n^2 + 6n + 11` с необходимостью делится на `5`. Но `n^2 + n + 1\ \text{mod} 5` принимает значения только из множества `{1,\ 2,\ 3}`, следовательно, `n^2 + 6n + 11` не делится на `5`, а `5n^2 + 30n + 55` не является квадратом.
Сумма шести последовательных квадратов есть `S_2(n + 6) - S_2(n) = 6n^2 + 42n + 91`. Так как `n^2 + n` делится на `2`, то `6n^2 + 6n` делится на `12` и `(6n^2 + 42n + 91)\ \text{mod} 12 = (6(n^2 + n) + 12 * (3 n + 7) + 7)\ \text{mod} 12 = 7`. `7` не является квадратичным вычетом по модулю `12`, и, следовательно, `6n^2 + 42n + 91` не является полным квадратом.
(b)
`S_2(n + 11) - S_2(n) =11n^2 + 132n + 506 = 11 ((n + 6)^2 + 10) = k^2`, и, следовательно, `(n + 6)^2 + 10 \equiv 0\ \text{mod} 11`, и `(n + 6)^2 \equiv 1\ \text{mod} 11`, откуда `n + 6 \equiv +- 1\ \text{mod} 11`. Перебирая первые значения, получим подходящий вариант `n = 17` и `18^2 + 19^2 + 20^2 + 21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 + 25^2 + 26^2 + 27^2 + 28^2 = 77^2`.