Своеобразный год

[wpoms.]

Год `1978` был "своеобразным" в том смысле, что сумма чисел, образованных первыми двумя и последними двумя его цифрами, равна числу, которое образовано его средними двумя цифрами, то есть `19 + 78 = 97`. Найдите предыдущий и следующий "своеобразные" года.

@темы: Теория чисел

Comments

[Trotil]

1978
19+78=97.
10a+b+10c+d=10b+c
10a+d+9c=9b
=> a+d=0 mod 9
=> d=9-a

9a+9+9c=9b
a+c+1=b

Пусть a=1, d=8.
b=c+2
предыдущий это b=8, следовательно c=6: 1868. 18+68=86.
последующий возможен только при a=2. Тогда d=7, b=c+3. Берём минимум для b: b=3, c=0.
2307=23+07=30.

[Ak-sakal]

Пусть это число `1000a+100b+10c+d`. Тогда `10(a-b+c)=c-b-d`. Для кратности 10 правая часть должна удовлетворять условию `c=b+d` или `c+10=b+d`. В первом случае слева ноль, т.е. `b=a+c`. Во втором случае слева 10, т.е `a+c+1=b`. Имеет смысл рассматривать только `a=1` или `a=2`. В обоих случаях система `c=b+d`, `b=a+c` дает отрицательный `d`, т.е. задача решения не имеет.
При `a=1` система `c+10=b+d`, `a+c+1=b` дает `d=8` и `b=c+2`. Соответственно годы 1978, 1868, 1758 и т.д.
При `a=2` получаем `d=7` и `b=c+3` с годами 2307, 2417, 2527 и т.д.
Ответ: 1868, 2307.