Докажите

[wpoms.]

Докажите, что для простого числа `p` и натуральных чисел `a` и `n` из `2^p + 3^p = a^n` следует, что `n = 1`.

@темы: Теория чисел

Comments

[vyv2]

`a` может быть только нечетно, а при `p <=3qquadn=1`(легко проверяется непосредственно). Рассмотрим три серии а: `a=3k,a=3k+1,a=3k-1`при `k >=2`. `a=3k` не может быть, т.к. `2^p` не делится на 3.`a=3k+1` не может быть, т.к. при делении на 3 левая часть имеет остаток 2, а правая - +1. Остается рассмотреть случай `a=3k-1`. Для того, чтобы остатки были одинаковы n должно быть нечетным. Если `n >1`, то раскрывая скобки в биномах `(3-1)^p+3^p=(3k-1)^n` и сокращая -1 справа и слева, получим, что р должно делиться на 9, чего быть не может. Значит n=1.