Неравенство

[wpoms.]

Докажите, что неравенство `2^(1/2) * 4^(1/4) * 8^(1/8) * ... * (2^n)^(1/(2^n)) < 4` выполняется для всех натуральных `n`.

@темы: Доказательство неравенств

Comments

[вейко]

доказать по индукции что всякий член ряда вида n/(2^n) меньше 2/(2^n) cумма последнего равна 4

[All_ex]

вейко, доказать по индукции что всякий член ряда вида n/(2^n) меньше 2/(2^n) сумма последнего равна 4 - Хм... `n/(2^n) < 2/(2^n)` верно только при `n < 2`...

...

`2^(1/2) * 4^(1/4) * 8^(1/8) * ... * (2^n)^(1/(2^n)) < 4` ... надо показать, что `sum_{k = 1}^{n} {k}/{2^k} < 2`...
Рассмотрим ряд `sum_{k = 1}^{oo} k*x^k`, для которого интересующая сумма является частичной при `x = 1/2`... то есть имеет значение меньшее, чем сам ряд....
`x * sum_{k = 1}^{oo} k*x^{k - 1} = x * (sum_{k = 1}^{oo} x^k)' = x * (x/{1 - x})' = x /{(1 - x)^2}`...
при `x = 1/2` получаем, что `sum_{k = 1}^{n} {k}/{2^k} < {1/2}/{(1 - 1/2)^2} = 2` ...

[вейко]

да тупанул

[vyv2]

Логарифмируем по основанию 2 и приходим к арифметико-геометрической прогрессии, сумма которой меньше бесконечной суммы этого ряда, которая в свою очередь равна 2. Ч.т.д.
`ln2*sum_(k=1)^n kq^k <ln2*sum_(k=1)^oo kq^k=ln2*q/(1-q)^2=2ln2`