"Логарифмирование"

[wpoms.]

Математическому барану сообщили значения длин двух сторон (`b`, `c`), и угла (`A`) треугольника `ABC` и попросили найти длину стороны `a`. Он стал вычислять длину с помощью теоремы косинусов `a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(A)`, при этом он "прологарифмировал" равенство и получил `log a^2 = log b^2 + log c^2 - log(2*b*c*cos(A))`. Далее он верно вычислил значение правой части равенства, нашел значение `a^2` и успешно завершил решение задачи. Что можно сказать о треугольнике `ABC`?

@темы: Планиметрия, Логарифмические уравнения (неравенства), Тождественные преобразования

Comments

[Adjirranirr]

успешно завершил решение задачи.

Успешно — это как? Ответ верный получился? =)

Если ответ получился верный, то из `a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(A) = \frac {b c} {2 cos(A)}` имеем `(c - b * 2cos(A))(b - c * 2cos(A)) = 0`. Если `c = 2 *b *cos(A)`, то `a^2 = b^2` и треугольник равнобедренный. Аналогично если `b = 2*c*cos(A)`, то `a^2 = c^2` и треугольник опять же равнобедренный. Исходя из неравенства треугольника, имеем (для первого случая, для второго — аналогично) `a + c > b => b (1 + 2 cos(A)) > b`, откуда `1 + 2cos(A) > 1 => 2 cos(A) > 0`, т.е. угол `A` — острый.

Если решение было успешным, а вот в ответе получилось что-то не то — всё, что можно сказать, это то, что угол `A` — острый, так как определен `ln (2 b c * cos(A))`, и `cos(A) > 0`.

[Гость]

треугольник опять же равнобедренный

Именно