Горизонтальная хорда

[wpoms.]

Функция `f`, определенная на множестве действительных чисел `RR`, имеет горизонтальную хорду длины `a > 0`, если существует действительное число `x`, такое что `f(a+x) = f(x)`. Покажите, что `f(x) = x^3 - x` (`x in RR`) имеет горизонтальную хорду длины `a` тогда и только тогда, когда `0 < a <= 2`.

@темы: Задачи с параметром

Comments

[Adjirranirr]

Необходимость: `f(x + a) - f(x) = 0 <=> a^3+3*a^2*x+3*a*x^2-a = 0 <=> a (3x^2 + 3ax + a^2 - 1) = 0`. Так как `a != 0`, то `3x^2 + 3ax + a^2 - 1 = 0`. Многочлен `3x^2 + 3ax + a^2 - 1` имеет дискриминант `D = -3a^2 + 12`, и действительные корни только при `D >= 0 <=> a^2 <= 4 <=> -2 <= a <= 2`. Так как `a > 0`, то `0 < a <= 2`.

Достаточность: пусть `0 < a <= 2`. Тогда многочлен `f(x + a) - f(x)` имеет по меньшей мере один действительный корень, и, соответственно, функция `f` имеет горизонтальную хорду длины `a`.