Приближение для деления

[wpoms.]

Если выполнение операции деления невозможно, то можно использовать метод итераций для вычисления приближенного значения числа `1//a`, `a > 0`: `x_{k+1} = x_{k}*(2 - a*x_{k}), k = 0, 1, 2, ...`, где `x_{0}` - некоторое начальное значение. Найдите ограничения, если они существуют, для начальных значений `x_{0}`, которые позволяют получить последовательность сходящуюся к `1//a`.

@темы: Пределы

Comments

[Adjirranirr]

Рассмотрим функцию `f(x) = x (2 - a*x)`. Очевидно, `f(1/a) = 1/a`; `f(1/a (1 + t)) = 1/a (1 + t) (1 - t) = 1/a (1 - t^2)`. Таким образом, для `t \in RR:\ f(1/a (1 - t)) = 1/a (1 - t^2)` и `f(1/a (1 - t^{2^{n}})) = 1/a (1 - t^{2^{n + 1}})`.
Через `f^{n}` обозначим композицию `f \circ f \circ ... \circ f`. Тогда `f^{0} (1/a (1 - t)) \equiv 1/a (1 - t)` и из `f^{n} (1/a (1 - t)) = 1/a (1 - t^{2^n})` следует `f^{n+1} (1/a (1 - t)) = f(1/a (1 - t^{2^n})) = 1/a (1 - t^{2^{n + 1}})`, и по теореме об индукции,
`f^{n} (1/a (1 - t)) = 1/a (1 - t^{2^n})` для всех `t \in RR` и `n \in NN \cup {0}`.

Пусть `x_0 = x`. Тогда `x_k = f^{k} (x) = f^{k} (1/a (a*x)) = f^{k} (1/a (1 - (1 - ax))) = 1/a (1 - (1 - ax)^{2^k})`. Для сходимости этой последовательности необходимо и достаточно выполнение `|1 - ax| <= 1 <=> -1 <= 1 - ax <= 1 <=> 0 <= ax <= 2`. Так как `a > 0`, то последнее неравенство приводится к виду `0 <= x <= 2/a`. Но если `x = 0` или `x = 2/a`, то `f(x) = 0` и `x_k \equiv 0`, и последовательность не сходится к `1/a`. Таким образом, для сходимости последовательности к `1/a` необходимо и достаточно выполнение `0<x_0 < 2/a`.

[Adjirranirr]

Другой вариант.
Если для некоторого `k` выполняется `x_k < 0`, то последовательность расходится к `-oo`. В самом деле, пусть `x_k < 0`. Тогда, так как `a > 0`, `|x_k| > 0`, то `x_{k + 1} = x_k (2 - a*x_k) = -|x_k| (2 + a*|x_k|) < 2 x_k`, и `x_{k + n} < 2^{n} x_{k} ->_{n -> oo} -oo`.
Таким образом, для сходимости необходимо `x_1 = x_0 (2 - a*x_0) > 0`, что эквивалентно `0 < x_0 < 2/a`.
Пусть `0 < x_0 < 2/a,\ x_0 != 1/a`. Тогда, так как `sup_{x \in (0; 2/a)} [x (2 - ax)] = 1/a`, то `0 < x_1 < 2/a` и `x_1 != 1/a` (так как на интервале `(0;\ 2/a)` уравнение `x * (2 - a*x) = 1/a` имеет единственное решение `x = 1/a`); если `0 < x_k < 2/a`, то тогда и `0 < x_{k + 1} < 2/a`, и по теореме об индукции, последовательность `{x_{k}}` ограничена. Следовательно, ограничена и последовательность `y_k = |x_k - 1/a| \in (0;\ 1/a)`. А так как `y_{k + 1}/y_{k} = |x_k (2 - a*x_k) - 1/a|/|x_k - 1/a| = |a*x_k - 1| < 1` при `0 < x_k < 2/a`, то последовательность `y_k` убывает и, по теореме Вейерштрасса, сходится. Тогда сходится и последовательность `x_k`, причем для `x = \lim_{k -> oo} x_k` выполняется `x = x * (2 - ax)`, или `x = 1/a`.
Окончательно, для сходимости `x_k -> 1/a` необходимо и достаточно выполнения `0 < x_0 < 2/a`.

[Adjirranirr]

Еще вариант.
Пусть `f(x) = x (2 - ax)`. Тогда, если `|x - 1/a| > 1/a`, то `|f(x) - 1/a| = |x (2 - ax) - 1/a| = |ax - 1|^2/a > a * 1/a^2 = 1/a`, и последовательность `f^{n} (x)` целиком лежит вне `1/a`-окрестности точки `1/a`.
Если `|x - 1/a| < 1/a`, то `|f(x) - f(1/a)| = |f(x) - 1/a| = a * (x - 1/a)^2 = a |x - 1/a| * |x - 1/a| < |x - 1/a|`, и функция `f(\cdot)` осуществляет сжимающее отображение. Тогда по теореме Банаха, `EE \lim_{n -> oo} f^{n} (x) = 1/a`.
Таким образом, `|x_0 - 1/a| < 1/a <=> 0 < x_0 < 2/a`.

[wpoms.]

Тогда по теореме Банаха - Бедные школьники