Сумма чисел

[wpoms.]

Действительные числа `alpha`, `beta` удовлетворяют равенствам `alpha^3 - 3alpha^2 + 5alpha - 17 = 0`, `beta^3 - 3beta^2 +5beta +11 = 0`. Найдите `alpha + beta`.

@темы: Системы НЕлинейных уравнений, Теория многочленов

Comments

[Гость]

Легко видеть, что `f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 17 = 0`, ` g(y) = y^3 - 3y^2 +5y +11` - строго возрастающие функции.
Пусть `x+y=a, f(x) = 0, g(y) = 0`.
`f(a-y) = (a-y)^3 - 3(a-y)^2 + 5(a-y) - 17 = a^3-3a^2y-3a^2+3ay^2+6ay+5a-y^3-3y^2-5y-17=0`
Прибавим `0=y^3 - 3y^2 +5y +11`, получим `a^3-3a^2y-3a^2+3ay^2+6ay+5a-6y^2-6=0`.
Разложим на множители `a^3-3a^2y-3a^2+3ay^2+6ay+5a-6y^2-6 = (a-2)(a^2-3ay-a+3y^2+3)`